Канечная група

Сіметрыя сняжынкі звязана з групаю паваротаў на вугал, кратны 60°

Кане́чная гру́па ў агульнай алгебры — група, якая змяшчае канечную колькасць элементаў (гэты лік называецца яе парадкам).

Далей будзем карыстацца мультыплікатыўнымі абазначэннямі, г.зн. аперацыя ў групе будзе абазначацца як множанне; адытыўныя групы з аперацыяй складання агаворваюцца асобна. Адзінку мультыплікатыўнай групы будзем абазначаць сімвалам 1.

Канечныя групы шырока выкарыстоўваюцца як у самой матэматыцы, так і ў розных сумежных тэхнічных і прыродазнаўчых навуках, напрыклад, у крыптаграфіі, крышталяграфіі, атамнай фізіцы, тэорыі арнаментаў і інш. Канечныя групы пераўтварэнняў цесна звязаны з сіметрыяй даследуемых аб'ектаў.

Прыклады

• Адытыўная група $\mathbb {Z} _{n}$ класаў вылікаў па модулю n.
• Мультыплікатыўная група каранёў n-й ступені з адзінкі, ізаморфная папярэдняй групе.
• Прыведзеная сістэма вылікаў па модулю m, парадак якой роўны $\varphi (m)$ (функцыя Эйлера).
• Некамутатыўная група з 8 кватэрніённых адзінак: $\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k$.
• Сіметрычная група (група падстановак) $S_{n}$, яе парадак роўны $n!$ і пры $n>2$ яна некамутатыўная.
• Чацвярная група Клейна.

Уласцівасці і звязаныя азначэнні

Тэарэма Кэлі: табліца множання элементаў канечнай групы ўтварае лацінскі квадрат.

Парадак элемента g канечнай групы G — найменшы натуральны лік m такі, што $g^{m}=1$. Парадак вызначаны для кожнага элемента канечнай групы.

Тэарэма Лагранжа: парадак любой падгрупы канечнай групы з’яўляецца дзельнікам парадку групы.

• Вынік 1: парадак любога элемента канечнай групы — дзельнік парадку групы.
• Вынік 2: любы элемент g канечнай групы парадку n задавальняе суадносіны:

  $g^{n}=1.$

Прыклад для прыведзенай сістэмы вылікаў: тэарэма Эйлера ў тэорыі лікаў.

Дзель парадку групы на парадак падгрупы называецца індэксам гэтай падгрупы і абазначаецца $G:H$. Напрыклад, у вышэйназванай групе кватэрніённых адзінак (парадку 8) ёсць падгрупа $\{1;-1\}$ парадку 2 і індэкса 4, а таксама падгрупа $\{1;-1;i;-i\}$ парадку 4 і індэкса 2.

Тэарэма Кашы (1815): любая група, парадак якой дзеліцца на просты лік $p$, мае элемент парадку $p$.

Калі ўсякаму дзельніку k парадку групы адпавядае падгрупа парадку k, то група называецца лагранжаваю. Не ўсякая група лагранжава — напрыклад, парадак групы паваротаў дадэкаэдра роўны 60, але падгруп парадку 15 у яе няма. Дастатковыя ўмовы існавання падгрупы зададзенага парадку (пры некаторых дадатковых дапушчэннях) устанаўліваюць тэарэмы Сілова. Прыкладам лагранжавай групы з’яўляецца сіметрычная група $S_{4}$.

Сумежныя класы і фактар-група

Асноўны артыкул: Фактаргрупа

Няхай H — падгрупа парадку m у канечнай групе G парадку n. Будзем лічыць элементы $g,g'\in G$ эквівалентнымі па падгрупе H, калі існуе $h\in H$ такое, што $~g=g'h.$ Лёгка праверыць, што гэта дачыненне эквівалентнасці ў групе G. Яно разбівае групу на неперасечныя класы эквівалентнасці, якія называюцца (левымі) сумежнымі класамі, усе яны змяшчаюць па m элементаў, лік класаў роўны індэксу падгрупы. Кожны элемент $g\in G$ уваходзіць у сумежны клас ${\bar {g}}=gH$, утвораны ўсімі магчымымі здабыткамі g на элементы падгрупы H.

Калі падгрупа H з’яўляецца нармальнаю, то можна перанесці групавую аперацыю на мноства сумежных класаў, вызначыўшы:

$(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H.$

Вынік такой аперацыі не залежыць ад выбару прадстаўнікоў $g_{1},g_{2}$ і ператварае мноства сумежных класаў у групу, якая называецца фактар-групаю. Яна абазначаецца $G/H$. Парадак фактар-групы роўны індэксу адпаведнай падгрупы.

Класіфікацыя

Канечныя цыклічныя групы

Самую простую структуру маюць канечныя цыклічныя групы, усе элементы якіх можна прадставіць як паслядоўныя ступені некаторага элемента a:

$1,a,a^{2},a^{3}\dots a^{n-1},$

дзе n — парадак групы.

Элемент a называецца ўтваральным (ці першаісным) для дадзенай групы. Колькасць утваральных элементаў для групы парадку n роўная $\varphi (n)$ (функцыя Эйлера). Прыклад: група каранёў з адзінкі.

Цыклічныя групы заўсёды камутатыўныя (абелевы) і лагранжавы.

Іншыя ўласцівасці:

• Любая канечная цыклічная група парадку n ізаморфная адытыўнай групе класаў вылікаў $~\mathbb {Z} _{n}$. Адсюль вынікае, што, з дакладнасцю да ізамарфізму, існуе толькі адна канечная цыклічная група данага парадку.
• Група парадку n будзе цыклічнаю тады і толькі тады, калі ў ёй існуе элемент таго ж парадку n.
• Цыклічная група мае нетрывіяльныя падгрупы тады і толькі тады, калі яе парадак з’яўляецца састаўным лікам.
• Любая падгрупа цыклічнай групы таксама цыклічная. Цыклічнай будзе і ўсякая фактар-група цыклічнай групы G/H.
• Не ўсякая камутатыўная група з’яўляецца цыклічнаю. Найпрасцейшы контрпрыклад: чацвярная група Клейна.

Групы з простым парадкам

Асноўны артыкул: Канечная p-група

Няхай парадак групы — просты лік p, тады спраўджваюцца наступныя ўласцівасці.

• Група з’яўляецца цыклічнаю.
• Група камутатыўная (абелева) і нільпатэнтная.
• Усе групы аднаго і таго ж парадку p ізаморфныя адна адной.

Больш агульным і больш складаным з’яўляецца выпадак, калі парадак групы — ступень простага ліку; такія групы прынята называць p-групамі.

Простыя групы

Канечная група называецца простаю, калі ўсе яе нармальныя падгрупы трывіяльныя (г.зн. супадаюць альбо з адзінкаваю падгрупаю, альбо з усёю групаю). Гл. іх агульную класіфікацыю.

Абелевы групы

Асноўная тэарэма (Фрабеніус): усякую камутатыўную канечную групу можна прадставіць як прамую суму p-груп. Гэта вынік агульнай тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных абелевых груп для выпадку, калі група не мае элементаў бесканечнага парадку.

Колькасць розных груп заданага парадку

На практыцы бывае важна ведаць, колькі розных груп мае заданы парадак n (ізаморфныя групы не адрозніваюцца) і колькі з гэтых груп камутатыўныя.

Парадак групы	Колькасць груп	Камутатыўных	Некамутатыўных
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0

Гісторыя

Першыя даследаванні канечных груп праводзіліся задоўга да з’яўлення самога тэрміна, і прысвечаны яны былі канкрэтным прыкладам гэтай структуры. Упершыню такая патрэба ўзнікла пры даследаванні алгебраічных ураўненняў на вырашальнасць у радыкалах, для чего Лаrpанж, Руфіні і Абель глыбока даследавалі групы падстановак каранёў мнагачленаў. У 1771 годзе Лагранж адкрыў для цыклічных груп падстановак тэарэму, якая пазней была названа яго імем і мае цалкам агульны характар. Абель істотна дапоўніў дасягненні Лагранжа, а паколькі ён высветліў ролю камутатыўных груп падстановак у данай праблеме, такія групы з тае пары называюцца абелевымі. У 1815 годзе Кашы даказаў, што ўсякая група, парадак якой дзеліцца на просты лік p, валодае элементам парадку p. Доказ меў агульны характар, хаця Кашы таксама абмежаваўся групаю падстановак.

Другім аб'ектам для будучай тэорыі сталі адытыўныя групы вылікаў. Найпрасцейшая нетрывіяльная група з двух элементаў разглядалася яшчэ Лейбніцам, а змястоўную тэорыю гэтай структуры для адвольнага модуля далі Эйлер і Гаус.

Тэрмін «група» з’явіўся ў працах Галуа, які таксама вывучаў групы падстановак, аднак азначэнне было дадзена ў даволі агульным выглядзе. Галуа таксама ўвёў фундаментальныя паняцці нармальнай падгрупы, фактар-гpупы, вырашальнай групы.

У 1854 годзе Кэлі даў першае абстрактнае азначэнне групы. У працы 1878 года ён даказаў ключавую тэарэму аб прадстаўленні адвольнай канечнай групы падстаноўкамі. У 1872 годзе нарвежскі матэматык Сюлаў атрымаў свае знакамітыя вынікі аб максімальных p-падгрупах, якія застаюцца падмуркам тэорыі канечных груп і цяпер.

Значны ўклад у тэорыю абстрактных канечных груп унёс таксама Фрабеніус, дзякуючы якому былі поўнасцю апісаны канечныя абелевы групы і створана тэорыя іх матрычных прадстаўленняў. К канцу XIX стагоддзя канечныя групы з поспехам прымяняліся як у матэматыцы, так і ў прыродазнаўчых навуках (напрыклад, у крышталяграфіі). У пачатку XX ст. працы Эмі Нётэр і Арціна заклалі асновы сучаснай тэорыі груп.

Гл. таксама

• Бесканечная група
• Дзеянне групы
• Класіфікацыя простых канечных груп
• Крышталеграфічная група
• Тэарэмы Сілова
• Тэарэма Лагранжа ў тэорыі груп

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
• Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир, 1985.
• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
• Вечтомов Е. М. О лагранжевых группах. §1. Из истории теории групп // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании : Материалы международной научной конференции, Пермь, сентябрь 2007 г.. — Пермь: Пермский Гос. Пед. Университет, 2007. — С. 23—32..
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Finite Group (нявызн.). MathWorld.