Нармальная падгрупа

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Група, матэматыка
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.

Азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Падгрупа N групы G называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента n з N і любога g з G, элемент g n g^{-1} ляжыць у N:

N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, \forall\ g\in G \, gng^{-1}\in{N}

Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:

  1. Для любога g з G, gNg^{-1} \sube N.
  2. Для любога g з G, gNg^{-1} = N.
  3. Мноствы левых і правых сумежных класаў N у G супадаюць.
  4. Для любога g из G, gN = Ng.
  5. N ізаморфныя аб'яднанню класаў спалучаных элементаў.

Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • \{ e \} і G — заўсёды нармальныя падгрупы G. Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група G называецца простай.
  • Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
  • У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую ​​аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Нармальнасць захоўваецца пры сюр'ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў.
  • Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа.
  • Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку.
  • Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная.
  • Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі p — найменшы просты дзельнік парадку G, то любая падгрупа індэкса p нармальная.
  • Калі N — нармальная падгрупа ў G, то на мностве левых (правых) сумежных класаў G / N можна ўвесці групавую структуру па правілу
(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N
Атрыманае мноства называецца фактаргрупай G па N.
  • N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах G / N.

Гістарычныя факты[правіць | правіць зыходнік]

Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — м:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры — 3-е изд. — м: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.