Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

Агульная тэорыя адноснасці

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,$

Гравітацыя Матэматычная фармулёўка Касмалогія Фундаментальныя прынцыпы Спецыяльная тэорыя адноснасці · Прастора-час · Прынцып эквівалентнасці · Сусветная лінія · Псеўдарыманава геаметрыя З'явы Задача Кеплера ў АТА · Гравітацыйная лінза · Гравітацыйныя хвалі · Захопліванне інерцыяльных сістэм адліку · Гарызонт падзей · Гравітацыйная сінгулярнасць · Чорная дзірка Ураўненні Ураўненні Эйнштэйна · Лінеарызаваная АТА · Постньютанаўскі фармалізм Развіццё тэорыі Параметрызаваны постньютанаўскі фармалізм · Теорыі тыпу Калуцы — Клейна · Квантавая гравітацыя · Альтэрнатыўныя тэорыі Рашэнні Дакладныя рашэнні: Шварцшыльда · Гёдэля · Казнера · Фрыдмана — Леметра — Робертсана — Уолкера Прыбліжаныя рашэнні: Постньютанаўскі фармалізм · Каварыянтная тэорыя адхіленняў · Лікавая адноснасць Часопісы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Вядомыя вучоныя Эйнштэйн · Мінкоўскі · Шварцшыльд · Леметр · Эдынгтан · Фрыдман · Робертсан · Фок · Кер · Чандрасекар · Пенроўз Хокінг

У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

Зыходныя палажэнні

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і неперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці азначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкай дыферэнцавальнай мнагастайнасцю 4 вымярэнняў $M_{4}$, г. зн. прасторай размернасці 4, для якой наваколле кожнай кропкі лакальна падобнае на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Паколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую мнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычным тэнзарам з сігнатурай $\{-,+,+,+\}$ (ці, што эквівалентна, $\{+,-,-,-\}$). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

Геаметрыя прасторы-часу

Метрычны тэнзар

Дыферэнцавальная мнагастайнасць M, забяспечанае лорэнцавым метрычным тэнзарам g , і прадстаўляе сабой такім чынам лорэнцаву мнагастайнасць, якая з'яўляецца асобным выпадак псеўдарыманавай мнагастайнасці (азначэнне «лорэнцаў» будзе ўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат $x^{\mu }$ ў наваколлі кропкі $P$, і хай ${\mathbf {e} }_{\mu }(x)$ — лакальны базіс ў датычнай прасторы $T_{x}M$ да мнагастайнасці $M$ ў кропцы $x\in M$. Датычны вектар $\mathbf {w} \in T_{x}M$ запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў:

$\mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }.$

Пры гэтым велічыні $\ w^{\mu }$ называюцца контраварыянтнымі кампанентамі вектара w. Метрычны тэнзар $\mathbf {g}$ тады — сіметрычная білінейная форма:

$\mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },$

дзе праз $dx^{\mu }$ пазначаны дуальны ў адносінах да ${\mathbf {e} }_{\mu }(x)$ базіс ў кадатычный прасторы $T_{x}^{*}M$, гэта значыць такія лінейныя формы на $T_{x}M$, што:

$dx^{\nu }({\mathbf {e} }_{\mu })\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }.$

Далей будзем меркаваць, што кампаненты $g_{\mu \nu }(x)$ метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часе неперарыўна.

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :

$g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }.$

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Умова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе, застаецца 4 дыяганальныя элементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар $g_{\mu \nu }$ валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

Скалярны здабытак

Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі$x\in M$ разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці $M^{}$ ў кропцы $x$ псеўдаэўклідавай прасторы $T_{x}M$. Калі $\mathbf {u}$ і $\mathbf {v}$ — два вектары $T_{x}M$, іх скалярны здабытак запішацца як:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }$

У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:

$g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }$

Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара w, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:

$w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }.$

Элементарная адлегласць — інтэрвал

Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння $d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ паміж кропкай $P^{}$ і бясконца блізкай кропкай: $|\epsilon ^{\mu }|\ll 1$. Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца $ds^{2}$, званы квадратам інтэрвалу, і роўны:

$ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }$.

Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна» $\epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }$, інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:

$ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }$

Увага: у гэтай формуле, а таксама і далей, $dx^{\mu }$ прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты $x^{\mu }$, а не як дыферэнцыяльная форма!

Лорэнцава метрыка

Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў $X^{\alpha }$ інварыянт $ds^{2}$ у кропцы $P$ запішацца як:

$ds^{2}\ =\ \eta _{\alpha \beta }\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},$

дзе $\eta _{\alpha \beta }$ з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту

$ds^{2}\ =\ (\eta _{\alpha \beta }+\delta _{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta },$

дзе $\delta _{\alpha \beta }$ мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі $P$, г. зн. $\delta _{\alpha \beta }|_{P}=0,\ \left.{\frac {\partial \delta _{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}}\right|_{P}=0$. Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:

$\eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-1,\,+1,\,+1,\,+1\,)$

Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

• грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
• лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:

$X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right).$

Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар разнастайнасці $M^{}$ забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да $M^{}$ ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :

$d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.$

Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнай

Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар $\nabla$, які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю $\mathbf {V}$ з датычнага пучка $TM$ поле эндамарфізмаў $\nabla \mathbf {V}$ этого пучка. гэтага пучка. Калі ${\mathbf {w} }\in T_{x}M$ — датычны вектар у пункце $x\in M$, звычайна пазначаюць

$\nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).$

Кажуць , што $\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V}$ з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара $\mathbf {V}$ ў напрамку ${\mathbf {w} }$. Выкажам здагадку да таго ж , што $\nabla \mathbf {V}$ задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва

$\nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V}$

Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

• лінейнасць па w, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў w і u і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:

$\nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} .$

• лінейнасць па V, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў X і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:

$\nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .$

Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі $\mathbf {T}$ і $\mathbf {S}$ — два любых тэнзар, то па азначэнні :

$\nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )$

Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара w значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

Звязнасць, асацыяваная з метрыкай

Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў X, Y, Z з TM

• $\nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )$ (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .

• $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$, где $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

Ураўненні Эйнштэйна

Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца ўраўненнямі Эйнштэйна, запісваюцца так

$R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },$

або так

$E_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },$

дзе $\Lambda$ — касмалагічная канстанта, $c$ — скорасць святла ў вакууме, $G$ — гравітацыйная пастаянная, якая з’яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана, $E_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R$ — тэнзар Эйнштэйна, а $T_{\mu \nu }$ — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар $g_{\mu \nu }$ мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ўраўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў частковых вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

Тэнзар энергіі-імпульсу

Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:

$T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right).$

У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

• T₀₀ — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — шчыльнасці кампанент імпульсу.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ — кампаненты патоку энергіі.
• Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:

$T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)$

— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы $~{\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$, дзе $~{\rho }$ ёсць шчыльнасць масы, а $~p$ — гідрастатычны ціск.