Закон Ома

Георг Ом

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Вектарны патэнцыял Электрычны дыполь Патэнцыялы Ліенара — Віхерта Сіла Лорэнца Ток зрушэння Уніпалярная індукцыя Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасць Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Электрычны імпеданс Каварыянтная фармулёўка Тэнзар электрамагнітнага поля Тэнзар энергіі-імпульсу 4-патэнцыял 4-ток Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

Закон Ома — фізічны закон, які ўсталёўвае сувязь паміж сілай электрычнага току, напружаннем і супраціўленнем.

Закон быў сфармуляваны нямецкім фізікам Георгам Омам у 1826 годзе на аснове эксперыментальных дадзеных. Дакладнае тэарэтычнае абгрунтаванне закону Ома дае квантавая механіка, але ён можа быць атрыманы і з дапамогай спрошчанай класічнай электроннай тэорыі праводнасці.

Закон Ома для аднароднага ўчастка электрычнага ланцуга пастаяннага току кажа, што сіла току прама прапарцыянальна напружанню на ўчастку і адваротна прапарцыянальна супраціўленню гэтага ўчастка. Гэта залежнасць выражаецца формулай

$I={\frac {U}{R}}$, (1)

дзе $I$ — сіла току, $U$ — электрычнае напружанне, $R$ — супраціўленне.

Гэтая ж формула справядліва і для неаднародных участкаў пры адпаведным удасканаленні паняцця напружання.

У гэтым артыкуле тлумачыцца форма закону Ома для неаднародных участкаў, а таксама дакладна размяжоўваюцца паняцці "напружанне", "падзенне напружання", "рознасць патэнцыялаў", "убытак патэнцыялу".

Тэрміналогія

Рознасць і ўбытак

Хай у пэўным пункце 1 электрычнага поля патэнцыял роўны $\varphi _{1}$, а ў пункце 2 — $\varphi _{2}$.

Рознасцю патэнцыялаў паміж пунктамі 1 і 2 будзем называць велічыню $\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$.

Убыткам патэнцыялу паміж пунктамі 1 і 2 будзем называць велічыню $-\Delta \varphi =\varphi _{1}-\varphi _{2}$.

Такім чынам, убытак патэнцыялу ёсць рознасць патэнцыялаў з супрацьлеглым знакам.

Ніжэй у гэтым артыкуле будуць выкарыстоўвацца менавіта гэтыя тэрміны. У літаратуры рознасцю патэнцыялаў нярэдка называюць рознасць ($\varphi _{1}-\varphi _{2}$), у той жа час пад рознасцю іншых фізічных велічынь разумеюць менавіта "другое мінус першае" (напрыклад, рознасцю тэмператур называюць велічыню ($t_{2}-t_{1}$)). Такое разыходжанне тлумачэння паняцця рознасці ўносіць дадатковую блытаніну.

Калі парадак пунктаў значэння не мае і не ўказваецца, паняцці рознасці і ўбытку звычайна маюць аднолькавы сэнс: яны абазначаюць модуль рознасці $|\Delta \varphi |=|\varphi _{2}-\varphi _{1}|$.

Электрастатычнае і электрастацыянарнае поле

Пры апісанні руху заражаных часціц у правадніку пры працяканні току нярэдка кажуць, што гэты рух адбываецца пад уздзеяннем электрастатычных сіл. Але, як вядома, электрастатыка займаецца вывучэннем узаемадзеяння зарадаў у стане спакою, да таго ж у электрастатыцы сцвярджаецца, што на макраўзроўні напружанасць поля ўнутры правадніка роўна нулю. Таму для апісання азначанага дзеяння мы далей у артыкуле будзем ужываць тэрмін "электрастацыянарнае поле" замест "электрастатычнага". Можна лічыць, што ўласцівасці электрастацыянарнага поля вельмі падобныя да ўласцівасцей электрастатычнага. Вядома, што насамрэч існуе толькі адзінае электрамагнітнае поле, а ўвядзенне дадатковых палёў спрашчае апісанне пэўных фізічных з’яў. Магнітныя з’явы ў гэтым артыкуле не разглядаюцца, як і праваднікі ў стане звышправоднасці, якія маюць нулявое (роўна нуль, а не прыблізна) супраціўленне і для якіх закон Ома не мае сэнсу.

Напружанне

Пры характарыстыцы электрастатычнага поля разглядаюць адносіну работы электрастатычных сіл $A_{\mathrm {e} }$ па перамяшчэнні зараду $q$ паміж дзвюма кропкамі поля да значэння гэтага зараду; гэта, па азначэнні, ёсць убытак патэнцыялу:

$\varphi _{1}-\varphi _{2}=A_{\mathrm {e} }/q$. (2)

Гэтыя суадносіны правільныя не толькі для электастатычнага, але і для электрастацыянарнага поля.

На ўчастку электрычнага ланцуга могуць дзейнічаць не толькі электрастацыянарныя сілы, але і староннія, таму работа $A$ па перамяшчэнні зарадаў на гэтым участку складаецца з работы электастацыянарных сіл $A_{\mathrm {e} }$ і работы старонніх сіл $A_{\mathrm {st} }$ (зразумела, трэба ўлічваць, што работа можа быць як дадатнай, так і адмоўнай велічынёй):

$A=A_{\mathrm {e} }+A_{\mathrm {st} }\!$. (3)

Напружаннем на такім участку называецца адносіна работы $A$ па перамяшчэнні зарадаў на гэтым участку да значэння зараду, які перамяшчаецца:

$U=A/q\!$. (4)

У гэтым выпадку маецца на ўвазе работа ўсіх сіл, якія дзейнічаюць на дадзеным участку ланцуга (як электрастацыянарных, так і старонніх).

Такім чынам, удасканаленае азначэнне выглядае так: напружанне роўна адносіне работы ўсіх сіл, як электрычнай, так і неэлектрычнай прыроды, якія ўдзельнічаюць на дадзеным участку ў пераносе электрычнага зараду, да значэння зараду, які пераносіцца. Звычайна, аднак, пад напружаннем разумеюць неадмоўную велічыню (у формуле (4) дроб можна ўзяць пад знак модуля).

Закон Ома для аднароднага ўчастка электрычнага ланцуга

Участкі электрычнага ланцуга, на якіх электрычны ток ствараецца толькі электрастацыянарным полем, называюцца аднароднымі.

Закон Ома для такіх участкаў выражаецца формулай (1). Такім чынам, сіла току прама прапарцыянальна напружанню на ўчастку і адваротна прапарцыянальна супраціўленню гэтага ўчастка.

Тыповым прыкладам аднароднага ўчастка электрычнага ланцуга з’яўляецца рэзістар.

Рэзістар

Разгледзім рэзістар супраціўленнем $R$, хай па ім працякае ток сілай $I$ у кірунку ад пункта 1 з патэнцыялам $\varphi _{1}$ да пункта 2 з патэнцыялам $\varphi _{2}$ (гл. малюнак). Нагадаем, што пад кірункам працякання току разумеюць кірунак руху дадатна заражаных часціц. Відавочна, што пры такім выбары пунктаў выконваецца няроўнасць $\varphi _{1}>\varphi _{2}$.

Чаму роўна напружанне на рэзістары?

$U{\stackrel {(4)}{=}}{\frac {A}{q}}{\stackrel {(3)}{=}}{\frac {A_{\mathrm {e} }+A_{\mathrm {st} }}{q}}={\frac {A_{\mathrm {e} }+0}{q}}={\frac {A_{\mathrm {e} }}{q}}{\stackrel {(2)}{=}}\varphi _{1}-\varphi _{2}$. (5)

Такім чынам, напружанне на рэзістары роўна ўбытку патэнцыялу паміж пунктамі 1 і 2 і роўна рознасці патэнцыялаў паміж пунктамі 2 і 1 (менавіта ў такім парадку). Для пазначэння гэтай жа велічыні ўжываецца і электратэхнічны тэрмін "падзенне напружання". Калі не задаецца парадак пунктаў і кірунак току, усе чатыры паняцці можна вольна ўжываць з аднолькавым значэннем.

З выкарыстаннем (5) формулу (1) можна перапісаць у выглядзе

$I={\frac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{R}}$. (6)

Закон Ома для неаднароднага ўчастка ланцуга

На ўчастках ланцуга, акрамя электрастацыянарных сіл, могуць дзейнічаць і неэлектрастацыянарныя, г.зн. староннія, сілы. Участак, на якім дзейнічаюць староннія сілы, называюць неаднародным участкам ланцуга.

Ланцуг зарадкі акумулятара

Разгледзім ланцуг, які складаюць пры зарадцы акумулятара. У ім "+" і "−" — палюсы крыніцы сілкавання, ад якой заражаецца акумулятар. Знешні ланцуг ABC складаецца з двух участкаў. Участак AB уяўляе сабой рэастат, с дапамогай якога рэгулюецца сіла току ў ланцугу, участак BC — гэта акумулятар. Хай модуль электрарухаючай сілы (ЭРС) акумулятара роўны $|{\mathcal {E}}|$ (дадатная велічыня). Зразумела, што, каб ішоў працэс зарадкі, ЭРС знешняй крыніцы сілкавання павінна перавышаць ЭРС акумулятара. Пры зарадцы акумулятара ток цячэ па прыведзеным ланцугу ў кірунку ад "+" полюса крыніцы сілкавання да "−" полюса.

На ўчастку ABC у працэсе зарадкі дзейнічаюць не толькі электрастацыянарныя, але і староннія сілы; такім чынам, гэты ўчастак з’яўляецца неаднародным.

Работа на неаднародным участку вылічваецца па формуле (3). Падзелім левую і правую часткі роўнасці (3) на велічыню, для акрэсленасці, дадатнага зараду $q$, які пераносіцца па кірунку цячэння току:

$A/q=A_{\mathrm {e} }/q+A_{\mathrm {st} }/q\!$. (7)

Прааналізуем гэту роўнасць. Адпаведна з (4), левая частка — гэта напружанне $U$ на неаднародным участку ABC электрычнага ланцуга. Першы член правай часткі — гэта ўбытак патэнцыялу (гл. (2)) паміж пунктамі A і C. Пазначым патэнцыял пункта A як $\varphi _{1}$, С — як $\varphi _{2}$.

Звернем увагу на другі член правай часткі роўнасці (7). Гэта ${\mathcal {E}}$ — электрарухаючая сіла акумулятара, бо, па азначэнні, ЭРС — гэта адносіна работы старонніх сіл да велічыні дадатнага зараду, які пераносіцца ад адмоўнага полюса да дадатнага полюса акумулятара. Але ж у нашым выпадку фактычна дадатны зарад пераносіцца ад дадатнага полюса акумулятара да адмоўнага, таму

${\mathcal {E}}=-|{\mathcal {E}}|$. (8)

Улічваючы гэта, роўнасць (7) можна перапісаць у агульным выпадку наступным чынам:

$U=\varphi _{1}-\varphi _{2}+{\mathcal {E}}$, (9)

а ў прымяненні да нашага лангуга з улікам (8) гэта можна запісаць і так:

$U=\varphi _{1}-\varphi _{2}-|{\mathcal {E}}|$. (10)

З формулы (4) відаць, што, наогул, напружанне на дадзеным участку ланцуга роўна алгебраічнай суме ўбытку патэнцыялу і ЭРС на гэтым участку. Калі ж на ўчастку дзейнічаюць толькі электрастацыянарныя сілы, то ЭРС роўна нулю (${\mathcal {E}}=0$) і мы пераходзім да формулы (5).

Такім чынам, паняцці напружання і ўбытку патэнцыялу супадаюць толькі ў асобным выпадку: калі на ўчастку ланцуга дзейнічаюць толькі электрастацыянарныя сілы ці дзейнасць старонніх сіл скампенсавана.

З (1) і (9), закон Ома для неаднароднага ўчастка ланцуга мае выгляд

$I={\frac {U}{R}}={\frac {\varphi _{1}-\varphi _{2}+{\mathcal {E}}}{R}}$. (11)

Гэты выраз можна перапісаць у выглядзе

$IR=\varphi _{1}-\varphi _{2}+{\mathcal {E}}$. (12)

Дадатны кірунак абыходу

Практычнае выкарыстанне прыведзеных формул выклікае значныя цяжкасці, бо трэба вельмі ўважліва сачыць за знакамі ўсіх фізічных велічынь, парадкамі праходжання пунктаў і кірункамі цячэння токаў.

Значна спрасціць выкарыстанне, напрыклад, формулы (12) можа выбранне так званага дадатнага кірунку абыходу (ДКА). Трэба ўлічваць наступныя факты.

• Пункт 1, якому адпавядае патэнцыял $\varphi _{1}$, павінен ісці раней па ДКА, чым пункт 2, патэнцыял якога $\varphi _{2}$.
• Калі кірунак працякання току супадае з ДКА, велічыня $I$ сілы току лічыцца дадатнай, інакш — адмоўнай.
• Велічыня ${\mathcal {E}}$ — гэта $|{\mathcal {E}}|$ (модуль велічыні ЭРС крыніцы сілкавання), калі другі пры руху па ДКА полюс крыніцы дадатны ("+"), і $-|{\mathcal {E}}|$ (мінус модуль) у адваротным выпадку.

ДКА можна выбіраць адвольным чынам. Змена пэўнага ДКА на адваротны прывядзе да змены знакаў усіх велічынь у (12), але роўнасць застанецца справядлівай.

Калі разглядаецца замкнуты электрычны ланцуг (контур), звычайна гавораць пра дадатны кірунак абыходу контуру (ДКАК).

Закон Ома для поўнага ланцуга

Замкнуты ланцуг

На малюнку адлюстраваны замкнуты электрычны ланцуг пастаяннага току. ЭРС крыніцы сілкавання роўна ${\mathcal {E}}$ (неадмоўная велічыня), яе ўнутранае супраціўленне $r$, супраціўленне знешняга ўчастка ланцуга (нагрузкі) $R$, на супраціўленне правадоў не звяртаем увагі. Ток сілы $I$ цячэ ў кірунку, пазначаным зялёнымі стрэлкамі. Абяром ДКАК у адпаведнасці з кірункам працякання току (ДКАК пазначаны на малюнку чырвонымі стрэлкамі).

Па закону Ома для знешняга ўчастка ланцуга 1'2' (гэты ўчастак аднародны) маем:

$\varphi _{1'}-\varphi _{2'}=IR$. (13)

Для ўнутранага ўчастка 21 закон Ома выглядае так:

$\varphi _{2}-\varphi _{1}+{\mathcal {E}}=Ir$. (14)

Відавочна, што $\varphi _{1}=\varphi _{1'}$, $\varphi _{2}=\varphi _{2'}$, бо пункты 1 і 1′, 2 і 2′ адпаведна злучаны праваднікамі, якія мы ўмоўна лічым ідэальнымі.

Атрымліваем сістэму:

${\begin{cases}\varphi _{1}-\varphi _{2}=IR,\\\varphi _{2}-\varphi _{1}+{\mathcal {E}}=Ir.\\\end{cases}}$

Знойдзем суму гэтых роўнасцей, атрымаем

${\mathcal {E}}=IR+Ir$, (15)

адкуль

$I={\frac {\mathcal {E}}{r+R}}$. (16)

Формула (16) выражае закон Ома для поўнага ланцуга: сіла току ў поўным ланцугу роўна электрарухаючай сіле крыніцы сілкавання, падзеленай на суму супраціўленняў знешняга і ўнутранага ўчасткаў ланцуга.

Напружанне ≠ убытак патэнцыялу

Фармальна напружанне на ўсіх гэтых батарэйках роўна нулю, калі не ўлічваць самаразрад. А вось ЭРС і ўнутранае супраціўленне вызначаюць ступень "зараджанасці".

Падкрэслім яшчэ раз, што ў агульным выпадку паняцці напружання і ўбытку (ці рознасці) патэнцыялаў не супадаюць.

Звернемся да папярэдняга прыкладу ланцуга, дзе рэзістар супраціўленнем $R$ падключаны да батарэі с ЭРС ${\mathcal {E}}$ і ўнутраным супраціўленнем $r$.

У ланцугу будзе цячы, як было высветлена, ток сілай $I$ (гл. (16)). Напружанне на рэзістары (аднародным участку) будзе роўна ўбытку патэнцыялу паміж вывадамі рэзістара — пунктамі 1′ і 2′, рознасці патэнцыялаў паміж пунктамі 2′ і 1′ і будзе роўна $IR$. У той жа час напружанне на батарэі не будзе роўна напружанню на рэзістары. Напружанне на батарэі не будзе роўна і ўбытку патэнцыялу на яе клемах. Сапраўднае значэнне напружання на батарэі можна вылічыць па формуле $Ir$ ці (14).

Трэба асабліва падкрэсліць, што напружанне на адключанай ад ланцугу крыніцы сілкавання роўна нулю, бо не ідзе перанос зарадаў і не ажыццяўляецца работа. Але, безумоўна, убытак (ці рознасць) патэнцыялаў на вывадах крыніцы адрозніваецца ад нуля.

Надпіс на звычайнай АА-батарэйцы "1,5 В" кажа пра намінальнае значэнне ЭРС. Калі мы далучаем да батарэйкі вальтметр, ён вымярае напружанне на ім самім, і чым супраціўленне вальтметра больш у параўнанні з унутраным супраціўленнем батарэйкі, тым менш значэнне, якое паказвае прыбор, адрозніваецца ад ЭРС батарэйкі. У любым выпадку напружанне на батарэйцы ў час вымярэння будзе роўна рознасці ЭРС і напружання на вальтметры.

Прыведзенае ў гэтым артыкуле тлумачэнне паняцця напружання супярэчыць агульнапрынятаму, бо звычайна паняцці напружання і рознасці патэнцыялаў атаясняюць. На шчасце, у большасці выпадкаў у штодзённым жыцці зразумела, аб чым менавіта ідзе гаворка.

Скарыстанне закону Ома пры рашэнні задач

Разлік аднародных участкаў электрычных ланцугоў па формуле (1) звычайна не выклікае цяжкасцей.

Для разліку складаных ланцугоў з вузламі зручна выкарыстоўваць правілы Кірхгофа, якія з’яўляюцца следствам закону Ома і фундаментальнага закону захавання электрычнага зараду.

Разбяром адну задачу на вылічэнне рознасці патэнцыялаў паміж пэўнымі пунктамі электрычнага ланцуга, у якім прысутнічае некалькі крыніц ЭРС.

Умова

Задача

Дадзены электрычны ланцуг (гл. схему), які складаецца з двух рэзістараў і чатырох батарэй. Пра іх вядома наступнае:

• $R_{1}=R;\!$
• $R_{2}=2R;\!$
• ${\mathcal {E}}_{1}=3{\mathcal {E}},r_{1}=4r;$
• ${\mathcal {E}}_{2}=4{\mathcal {E}},r_{2}=3r;$
• ${\mathcal {E}}_{3}={\mathcal {E}},r_{3}=2r;$
• ${\mathcal {E}}_{4}=2{\mathcal {E}},r_{4}=r.$

Патрабуецца знайсці рознасць патэнцыялаў паміж пунктамі A і С.

Рашэнне

Зразумела, ва ўмове пад ЭРС батарэй разумеюцца модулі значэнняў ЭРС (без уліку спосабу ўключэння батарэй у канкрэтным ланцугу).

Адвольна абяром дадатны кірунак абыходу контуру (ДКАК) і пазначым яго чырвонымі стрэлкамі. Вызначыць сапраўдны кірунак працякання току ў дадзеным ланцугу адразу немагчыма. Таму хай літара $I$ пазначае сілу току з улікам ДКАК: $I=|I|$, калі кірунак працякання току супадае з ДКАК, і $I=-|I|$, калі ток цячэ ў кірунку, адваротным ДКАК.

Разгледзім участак ABC. Запішам для яго закон Ома ў форме (12) з улікам абранага ДКАК. Поўнае супраціўленне ўчастка ABC роўна суме супраціўлення рэзістара $R_{1}$ і ўнутраных супраціўленняў батарэй $r_{1}$ і $r_{2}$. Што датычыцца электрарухаючых сіл, ЭРС ${\mathcal {E}}_{1}$ першай батарэі бяром са знакам "–" (бо, фармальна, другі пры руху па ДКАК полюс гэтай батарэі "–"), а ЭРС ${\mathcal {E}}_{2}$ другой батарэі трэба ўзяць са знакам "+" (другі пры руху па ДКАК полюс "+"). Такім чынам, атрымаем роўнасць

$I(r_{1}+R_{1}+r_{2})=\varphi _{\mathrm {A} }-\varphi _{\mathrm {C} }-{\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}$. (17)

Аналагічна разглядаем участак CDA. Атрымліваем роўнасць

$I(r_{3}+R_{2}+r_{4})=\varphi _{\mathrm {C} }-\varphi _{\mathrm {A} }-{\mathcal {E}}_{3}-{\mathcal {E}}_{4}$. (18)

Зложым роўнасці (17) і (18), атрымаем

$I(r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}+R_{1}+R_{2})=-{\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{3}-{\mathcal {E}}_{4}$. (19)

Адсюль знойдзем $I$:

$I={\frac {-{\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{3}-{\mathcal {E}}_{4}}{r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {-3{\mathcal {E}}+4{\mathcal {E}}-{\mathcal {E}}-2{\mathcal {E}}}{4r+3r+2r+r+R+2R}}={\frac {-2{\mathcal {E}}}{3R+10r}}$. (20)

З (20) відавочна, што $I<0$, таму кірунак працякання току (пазначым яго на малюнку зялёнай стрэлкай) не супадае з абраным ДКАК, але для рашэння задачы гэта не мае прынцыповага значэння.

З (18) атрымаем рознасць патэнцыялаў паміж пунктамі A і С:

$\varphi _{\mathrm {C} }-\varphi _{\mathrm {A} }=I(r_{3}+R_{2}+r_{4})+{\mathcal {E}}_{3}+{\mathcal {E}}_{4}=I(3r+2R)+{\mathcal {E}}+2{\mathcal {E}}={\frac {-2{\mathcal {E}}(2R+3r)}{3R+10r}}+3{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}\cdot {\frac {5R+24r}{3R+10r}}$. (21)

Адказ

$\varphi _{\mathrm {C} }-\varphi _{\mathrm {A} }={\mathcal {E}}\cdot {\frac {5R+24r}{3R+10r}}$. (22)

Літаратура

• Зяньковіч У. І. Пары фізікі ў Ліцэі БДУ.
• Кабардин О. Ф., Орлов В. А., Эвенчик Э. Е., Шамаш С. Я., Пинский А. А., Кабардина С. И., Дик Ю. И., Никифоров Г. Г., Шефер. Н. И. Физика. Учебное пособие для 10 класса школ и классов с углубленным изучением физики. / Под ред. А. А. Пинского. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — С. 250 — 259. — ISBN 5-09-007353-8 (руск.)
• Балаш В. А. Задачи по физике и методы их решения. 2-е изд. — М.: Просвещение, 1967. — С. 265—266. (руск.)