Тэорыя прадстаўленняў

Тэо́рыя прадстаўле́нняў — раздзел матэматыкі, які вывучае абстрактныя алгебраічныя структуры з дапамогай прадстаўлення іх эдементаў у выглядзе лінейных пераўтварэнняў вектарных прастор. Па сутнасці, прадстаўленне робіць абстрактныя алгебраічныя аб’екты больш канкрэтнымі, апісваючы іх элементы матрыцамі, а аперацыі складання і памнажэння гэтых аб’ектаў — складаннем і памнажэннем матрыц. Сярод аб’ектаў, якія паддаюцца такому апісанню, знаходзяцца групы, асацыятыўныя алгебры і алгебры Лі. Найбольш вядомай (і гістарычна першай) з’яўляецца тэорыя прадстаўленняў груп.

Тэорыя прадстаўленняў з’яўляецца магутным інструментам, таму што яна зводзіць задачы агульнай алгебры да задач лінейнай алгебры, прадмет якой добра зразумелы. Акрамя таго, вектарная прастора, з дапамогай якой прадстаўлена група, можа быць бесканечнамернаю, і калі дадаць да яе структуру гільбертавай прасторы, можна будзе прымяніць метады матэматычнага аналізу. Тэорыя прадстаўленняў таксама мае важнае значэнне для фізікі, бо яна, напрыклад, апісвае, як група сіметрыі фізічнай сістэмы ўплывае на рашэнні ўраўненняў, якія апісваюць гэтую сістэму.

Цікавая асаблівасць тэорыі прадстаўленняў — гэта яе распаўсюджанасць у матэматыцы. Першы аспект гэтага — разнастайныя прымяненні тэорыі прадстаўленняў: у дадатак да свайго ўплыву на алгебру яна асвятляе і значна абагульняе аналіз Фур’е з дапамогай гарманічнага аналізу, яна цесна звязана з геаметрыяй цераз тэорыю інварыянтаў і эрлангенскую праграму, аказвае вялікі ўплыў на тэорыю лікаў праз аўтаморфныя формы і праграму Ленглендса. Другім аспектам з’яўляецца разнастайнасць падыходаў да тэорыі прадстаўленняў. Адны і тыя ж аб’екты могуць быць вывучаны з дапамогай метадаў алгебраічнай геаметрыі, тэорыі модуляў, аналітычнай тэорыі лікаў, дыферэнцыяльнай геаметрыі, тэорыі аператараў, алгебраічнай камбінаторыкі і тапалогіі.

Поспех тэорыі прадстаўленняў прывёў да шматлікіх яе абагульненняў. Адно з найбольш агульных выкарыстоўвае тэорыю катэгорый. Алгебраічныя аб’екты, да якіх прымяняецца тэорыя прадстаўленняў, могуць быць разгледжаны як аб’екты пэўнай катэгорыі, а прадстаўленні — як функтары з дадзенай катэгорыі ў катэгорыю вектарных прастор. Такое апісанне ўказвае на два відавочныя абагульненні: па-першае, алгебраічныя аб’екты могуць быць замененыя на больш агульныя катэгорыі; па-другое, катэгорыя вектарных прастор можа быць заменена іншымі добра зразумелымі катэгорыямі.

У залежнасці ад прадстаўленай групы адрозніваюць раздзелы тэорыі прадстаўленняў:

• Канечныя групы — гл. тэорыя прадстаўленняў канечных груп.
• Тапалагічныя групы — некаторыя пабудовы для прадстаўленняў канечных груп можна абагульніць і для бесканечных груп. Для лакальна кампактных тапалагічных груп гэта можна зрабіць з дапамогай меры Хаара. На выніковай тэорыі шмат у чым грунтуецца гарманічны аналіз, а таксама сучасны выклад агульнай тэорыі Фур’е.
• Групы Лі — многія групы Лі з’яўляюцца кампактнымі. Адпаведна да іх можна прымяніць тэорыю прадстаўленняў кампактных груп. Гл. тэорыя прадстаўленняў груп Лі.

Літаратура

• Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introductionto the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
• Bargmann, V. (1947). "Irreducible unitary representations of the Lorenz group". Annals of Mathematics. 48 (3): 568–640. doi:10.2307/1969129. JSTOR 1969129.
• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5.
• Gelbart, Stephen (1984). "An Elementary Introduction to the Langlands Program". Bulletin of the American Mathematical Society. 10 (2): 177–219. doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
• Anthony W. Knapp: Group representations and harmonic analysis from Euler to Langlands. In: Notices of the American Mathematical Society. 43, 4, 1996, Part 1; 43, 5, 1996, Part 2.

Спасылкі

• Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001). "Representation theory". Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.