Алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Трохмерны правабаковы кананоід, апісаны элементарнымі алгебраічнымі ўраўненнямі
x = v \times \cos (u), y = v \times \sin (u), z = 2 \times \sin (u).

А́лгебра (араб.: الجبر «аль-джабр» — уз'яднанне, дапаўненне) — адзін з найстарэйшых раздзелаў матэматыкі, які ўзнік яшчэ ў старажытнасці. Алгебра вывучае алгебраічныя структуры, аперацыі над элементамі мностваў, аперацыі складання і множання, паняцці зменных і г. д. Вывучэнне ўласцівасцей кампазіцый рознага віду ў XIX стагоддзі прывяло да думкі, што асноўнай задачай алгебры з'яўляецца вывучэнне ўласцівасцей аперацый незалежна ад аб'ектаў, да якіх яны прымяняюцца. З тых часоў алгебра пачала разглядацца як агульная навука аб уласцівасцях і законах кампазіцыі аперацый. У нашы дні алгебра — адна з найважнейшых частак матэматыкі, якая знаходзіць прымяненне як у тэарэтычных, так і ў практычных галінах навукі.

Сярод асноўных паняццяў, з якімі мае справу алгебра:

Больш шырока алгебру разумеюць як навуку аб якасных і колькасных адносінах, якія ўзнікаюць у розных структурах (не абавязкова лікавых) — напрыклад, палях, групах, колцах.

У адпаведнасці з гэтым разглядаюць такія раздзелы алгебры:

Алгебра з'яўляецца адной з асноўных галін матэматыкі разам з геаметрыяй, аналізам, тапалогіяй, камбінаторыкай і тэорыяй лікаў.

Этымалогія назвы[правіць | правіць зыходнік]

Найменне «алгебра» ўжываецца ў розных алгебраічных сістэмах. Слова «алгебра» паходзіць ад назвы адной з першых кніг па алгебры «Hisab al-dżabr wa'l-mukabala» (Кніга вылічэнняў шляхам дапаўнення і раўнавагі), якую ў 825 годзе напісаў арабскі навуковец Аль-Харэзмі. Даслоўна яно азначае «папаўненне».

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Старажытны свет[правіць | правіць зыходнік]

Старажытнагрэчаскі матэматык Эўклід (ці Архімед) з вучнямі. Фрэска «Афінская школа» работы Рафаэля Санці.

Складаныя задачы ўмелі рашаць у пачатку 2 тысячагоддзя да н.э. у старажытным Вавілоне: у матэматычных тэкстах, напісаных клінапісам на гліняных таблічках, ёсць квадратныя і біквадратныя ўраўненні, сістэмы ўраўненняў з дзвюма невядомымі і найпрасцейшыя кубічныя ўраўненні. Пры гэтым вавіланяне не выкарыстоўвалі літарных абазначэнняў, а прыводзілі рашэнні тыповых задач, зводзячы рашэнне аналагічных задач да замены лікавых значэнняў. У лікавай форме прыводзіліся таксама і некаторыя правілы тоесных пераўтварэнняў. Калі пры рашэнні ўраўнення трэба было знайсці квадратны корань ліку a, які не з'яўляецца дакладным квадратам, прыбліжанае значэнне кораня x знаходзілі як сярэдняе арыфметычнае лікаў х і а/х.

Першыя агульныя сцвярджэнні аб тоесных пераўтварэннях сустракаюцца ў старажытнагрэчаскіх матэматыкаў, пачынаючы з VI стагоддзя да н.э. Сярод матэматыкаў старажытнай Грэцыі было прынята прадстаўляць усе алгебраічныя сцвярджэнні ў геаметрычнай форме. Замест складання лікаў казалі аб складанні адрэзкаў, здабытак двух лікаў вытлумачвалі як плошчу прамавугольніка, а здабытак трох лікаў як аб'ём прамавугольнага паралелепіпеда. Алгебраічныя формулы прымалі выгляд суадносін паміж плошчамі і аб'ёмамі. Напрыклад, казалі, што плошча квадрата, пабудаванага на суме двух адрэзкаў, роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на гэтых адрэзках, павялічанай на падвоеную плошчу прамавугольніка, пабудаванага на гэтых адрэзках. Такім чынам з'явіліся тэрміны «квадрат ліку», што азначае здабытак велічыні на сябе, «куб ліку», «сярэдняе геаметрычнае». Геаметрычную форму ў грэкаў набыло рашэнне квадратнага раўнення — яны шукалі значэнне стараны прамавугольніка па зададзенаму перыметру і плошчы.

Большасць задач у Грэцыі рашалася шляхам пабудоў цыркулем і лінейкай. Але не ўсе задачы можна было рашыць такім метадам. Прыкладамі такіх задач з'яўляюцца падваенне куба, трысекцыя вугла, задача пабудовы правільнага сямівугольніка. Усе яны зводзіліся да кубічных ураўненняў выгляду x^{3}=2, 4x^{3}-3x=a і x^{3}+x^{2}-2x-1=0 адпаведна. Для рашэння гэтых задач быў распрацаваны новы метад, — адшуканне кропак перасячэння канічных сячэнняў (эліпса, парабалы і гіпербалы).

Старажытнаіндыйскі матэматык Арыябхата I.

Геаметрычны падыход да алгебраічных праблем абмяжоўваў далейшае развіццё навукі. Напрыклад, можна было складаць велічыні аднолькавай размернасці (даўжыні, плошчы, аб'ёмы), але нельга было казаць пра здабыткі больш чым трох множнікаў, бо не было паняцця чатырохмернага аб'ёму. Спробы адмовіцца ад геаметрычнай трактоўкі з'явілася ў Дыяфанта Александрыйскага, які жыў у III стагоддзі. У яго кнізе «Арыфметыка» з'яўляецца літарная сімволіка і спецыяльныя абазначэнні для ступеней да 6-й. Былі ў яго і абазначэнні для адмоўных ступеней, адмоўных лікаў, а таксама знак роўнасці (адмысловага знака для складання яшчэ не было), кароткі запіс правіл множання дадатных і адмоўных лікаў. На далейшае развіццё алгебры істотна паўплывалі даследаваныя Дыяфантам задачы, якія прыводзяць да складаных сістэм алгебраічных ураўненняў, у тым ліку да сістэм, дзе колькасць ураўненняў была меншай за колькасць невядомых. Для такіх ураўненняў Дыяфант шукаў толькі дадатныя рацыянальныя рашэнні.

З VI стагоддзя цэнтр матэматычных даследаванняў перамясціўся ў Індыю, Кітай, краіны Блізкага Усходу і Сярэдняй Азіі. Кітайскія навукоўцы распрацавалі метад паслядоўнага выключэння невядомых для рашэння сістэм лінейных ураўненняў, далі новыя метады прыбліжанага рашэння ўраўненняў вышэйшых ступеней. Індыйскія матэматыкі, а іменна Арыябхата I, Брамагупта, выкарыстоўвалі адмоўныя лікі, удасканалілі літарную сімволіку. Але толькі ў працах вучоных Блізкага Усходу і Сярэдняй Азіі алгебра аформілася ў самастойную галіну матэматыкі, якая займаецца рашэннем ураўненняў. У IX стагоддзі ўзбекскі матэматык і астраном Мухамед аль-Харэзм напісаў трактат «Кітаб аль-джэбр Валь-мукабала», дзе даў агульныя правілы для рашэння ўраўненняў першай ступені. Слова «аль-джэбр» (аднаўленне), ад якога новая навука атрымала сваю назву, азначала перанос адмоўных складнікаў ураўнення з адной часткі ў іншую са зменай знака. Навукоўцы Усходу вывучалі рашэнне кубічных ураўненняў, аднак не здолелі атрымаць агульнай формулы для іхніх каранёў.

У Еўропе вывучэнне алгебры пачалося ў XIII стагоддзі. Адным з буйных матэматыкаў гэтага часу быў італьянец Леанарда Пізанскі, вядомы па мянушцы Фібаначы. Яго «Кніга абака» 1202 года ўяўляе сабой трактат са звесткамі па арыфметыцы і алгебры, у тым ліку і пра квадратныя ураўненні. Першым значным самастойным дасягненнем заходнееўрапейскіх вучоных стала адкрыццё формулы для каранёў кубічнага ўраўнення, апублікаванай у 1545 годзе. Гэта было заслугай італьянскіх алгебраістаў Сцыпіёна дэль Фера, Ніколы Тартальі і Джыралама Кардана. Вучань Кардана Ладавіка Ферары рашыў і ўраўненне 4-й ступені. Вывучэнне некаторых пытанняў, звязаных з каранямі кубічных ураўненняў, прывяло італьянскага алгебраіста Рафаэля Бамбелі да адкрыцця камплексных лікаў.

Развіццё сімволікі[правіць | правіць зыходнік]

У 1545 годзе італьянскі матэматык Джыралама Кардана апублікаваў сваю працу «Ars Magna», у якой ён упершыню прапанаваў метад рашэння агульнага ўраўнення чацвёртай ступені.

Адсутнасць зручнай і развітой сімволікі стрымлівала далейшае развіццё алгебры: самыя складаныя формулы даводзілася апісваць словамі. У канцы XV стагоддзя Лука Пачолі зрабіў спробу ўвесці алгебраічную сімволіку, аднак большага поспеху ў гэтай справе дасягнуў у канцы XVI стагоддзя французскі матэматык Франсуа Віет, які ўвёў літарныя абазначэнні не толькі для невядомых, але і для адвольных сталых велічынь. Сімволіка Віета была ўдасканалена яго паслядоўнікамі. Канчатковы выгляд ёй надаў у XVII стагоддзі французскі філосаф і матэматык Рэнэ Дэкарт, які ўвёў абазначэнні для паказчыкаў ступеней, якія прымяняюцца да гэтага часу.

Паступова пашыраўся запас лікаў, з якімі можна было выконваць дзеянні. Пачалі шырока ўжывацца адмоўныя лікі, затым — камплексныя, навукоўцы сталі свабодна выкарыстоўваць ірацыянальныя лікі. Аказалася, што, нягледзячы на ​​такое пашырэнне запасу лікаў, устаноўленыя раней правілы алгебраічных пераўтварэнняў захоўваюць сваю сілу. Нарэшце, Дэкарт здолеў вызваліць алгебру ад неўласцівай ёй геаметрычнай формы. Усё гэта дало магчымасць разглядаць пытанне рашэння ўраўненняў у самым агульным выглядзе, рашаць геаметрычныя задачы з дапамогай ураўненняў. Напрыклад, задача аб знаходжанні пункта перасячэння дзвюх прамых звялася да рашэння сістэмы ўраўненняў, якім задавальнялі пункты гэтых прамых. Такі падыход да рашэння геаметрычных задач атрымаў назву аналітычнай геаметрыі.

Развіццё алфавітнай сімволікі дазволіла ўстанавіць агульныя сцвярджэнні адносна ўраўненняў: тэарэма Безу аб дзялімасці мнагачлена P(х) на двухчлен (ха), дзе a ёсць корань гэтага мнагачлена, формула Віета для суадносін паміж каранямі квадратнага ўраўнення і яго каэфіцыентамі; правілы, якія дазваляюць ацэньваць колькасць рэчаісных каранёў ураўнення, агульныя метады выключэння невядомых з сістэмы ўраўненняў і г. д.

Далейшыя поспехі[правіць | правіць зыходнік]

Асабліва далёка ў сферы рашэння сістэмы лінейных ураўненняў удалося прасунуцца ў XVIII стагоддзі, для іх былі атрыманы формулы, якія дазваляюць выразіць рашэнне праз каэфіцыенты і свабодныя складнікі. Далейшае вывучэнне такіх сістэм ураўненняў прывяло да тэорыі матрыц і вызначнікаў. У канцы XVIII стагоддзя было даказана, што любое алгебраічнае ўраўненне з камплекснымі каэфіцыентамі мае хаця б адзін камплексны корань. Гэта сцвярджэнне называецца асноўнай тэарэмай алгебры. На працягу двух з паловай стагоддзяў увага алгебраістаў была прыкавана да задачы аб вывадзе формулы для рашэння агульнага ўраўнення 5-й ступені. Трэба было выразіць рашэнне гэтага ўраўнення праз яго каэфіцыенты з дапамогай арыфметычных аперацый і каранёў, гэта значыць развязаць ураўненне ў радыкалах. Толькі ў XIX стагоддзі італьянец Паола Руфіні і нарвежац Нільс Абель незалежна адзін ад аднаго даказалі, што такія формулы не існуюць (гл. Тэарэма Абеля-Руфіні). Гэтыя даследаванні былі завершаны французскім матэматыкам Эварытсам Галуа, чые метады дазволілі для гэтага ўраўнення вызначыць, развязваецца яно ў радыкалах ці не. Адзін з самых выдатных матэматыкаў у гісторыі Карл Фрыдрых Гаус высвятліў, калі можна пабудаваць цыркулем і лінейкай правільны n-вугольнік: дадзеная задача была напрамую звязана з вывучэннем каранёў ураўнення xn = 1. Высветлілася, што яна вырашальная толькі тады, калі лік n ёсць просты лік Ферма ці здабытак некалькіх розных простых лікаў Ферма. Тым самым малады студэнт, а Гаусу на той час было ўсяго дзевятнаццаць гадоў, рашыў задачу, якой беспаспяхова займаліся навукоўцы больш чым два тысячагоддзі.

Лінейная алгебра[правіць | правіць зыходнік]

Лінейная алгебра — частка алгебры, якая вывучае вектары, вектарныя, або лінейныя прасторы, лінейныя адлюстравання і сістэмы лінейных ураўненняў. Да лінейнай алгебры таксама адносяць тэорыю вызначальнікаў, тэорыю матрыц, тэорыю форм (напрыклад, квадратычных), тэорыю інварыянтаў (часткова), тэнзарнае злічэнне (часткова)[1]. Сучасная лінейная алгебра робіць акцэнт на вывучэнні вектарных прастор[2].

Лінейная, або вектарная прастора V(F) над полем F — гэта ўпарадкаваная чацвёрка (V,F,+,\cdot), дзе

 V — непустое мноства элементаў адвольнай прыроды, якія называюцца вектарамі;
 F — (алгебраічнае) поле, элементы якога называюцца скалярамі;
+: V+V → V — аперацыя складання вектараў, якая супастаўляе кожнай пары элементаў \mathbf{x}, \mathbf{y} мноства V адзіны элемент мноства V, які абазначаецца \mathbf{x} + \mathbf{y};
 \cdot\colon F\times V\to V — аперацыя множання вектараў на скаляры, якая супастаўляе кожнаму элементу \lambda \in F і кожнаму элементу \mathbf{x} мноства  V адзіны элемент мноства V, які абазначаецца \lambda\mathbf{x};

прычым, зададзеныя аперацыі адпавядаюць наступным аксіёмам — аксіёмам лінейнай (вектарнай) прасторы:

  1. \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}\in V (камутатыўнасць складання);
  2. \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V (асацыятыўнасць складання);
  3. існуе такі элемент \theta \in V, што \mathbf{x} + \theta = \mathbf{x} для любога \mathbf{x} \in V (існаванне нейтральнага элемента адносна складання), у прыватнасці V не пуста;
  4. для любога \mathbf{x} \in V існуе такі элемент -\mathbf{x} \in V, што \mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta (існаванне супрацьлеглага элемента адносна складання).
  5. \alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x} (асацыятыўнасць множання на скаляр);
  6. 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x} (унітарнае: множанне на нейтральны (па множанню) элемент поля F захоўвае вектар).
  7. (\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x} (дыстрыбутыўнасць множання на вектар адносна складання скаляраў);
  8. \alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y} (дыстрыбутыўнасць множання на скаляр адносна складання вектараў).

Эўклідавыя прасторы, афінныя прасторы, а таксама многія іншыя прасторы, якія вывучаюцца ў геаметрыі, вызначаюцца на аснове вектарнай прасторы. Аўтамарфізмы вектарнай прасторы над полем ўтвараюць групу адносна множання, ізаморфную групе нявыраджаных квадратных матрыц, што звязвае лінейную алгебру з тэорыяй груп, у прыватнасці з тэорыяй лінейных прадстаўленняў груп[2].

Пераход ад канечнамерных вектарных прастор, якія звычайна выкарыстоўваюцца ў лінейнай алгебры, да бесканечнамерных лінейных прастор знайшоў сваё адлюстраванне ў некаторых раздзелах функцыянальнага аналізу[1]. Іншым натуральным абагульненнем з'яўляецца выкарыстанне не поля, а адвольнага кольца. Для модуля над адвольным кальцом не выконваюцца асноўныя тэарэмы лінейнай алгебры. Агульныя ўласцівасці вектарных прастор над полем і модуляў над кальцом вывучаюцца ў алгебраічнай К-тэорыі[2].

Агульная алгебра[правіць | правіць зыходнік]

Агульная алгебра займаецца вывучэннем розных алгебраічных сістэм. У ёй разглядаюцца ўласцівасці аперацый над аб'ектамі незалежна ад уласна прыроды аб'ектаў[3]. Яна ўключае ў сябе ў першую чаргу тэорыі груп і кольцаў. Агульныя ўласцівасці, характэрныя для абодвух відаў алгебраічных сістэм прывялі да разгляду новых алгебраічных сістэм: рашотак, катэгорый, універсальных алгебр, мадэлей, паўгруп і квазігруп. Упарадкаваныя і тапалагічныя алгебры, часткова ўпарадкаваныя і тапалагічныя групы і кольцы, таксама адносяцца да агульнай алгебры[4].

Дакладная мяжа агульнай алгебры не вызначана. Да яе можна таксама аднесці тэорыю палёў, канечных груп, канечнамерныя алгебры Лі[4].

Тэорыя груп[правіць | правіць зыходнік]

Непустое мноства G з зададзенай на ім бінарнай аперацыяй \,*\,\colon G \times G \to G называецца групай (G,*), калі выкананы наступныя аксіёмы:

  • асацыятыўнасць: \forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c);
  • наяўнасць нейтральнага элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
  • наяўнасць адваротнага элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)

Паняцце групы ўзнікла ў выніку фармальнага апісання сіметрыі і эквівалентнасці геаметрычных аб'ектаў. У тэорыі Галуа, якая і дала пачатак паняццю групы, групы выкарыстоўваюцца для апісання сіметрыі ўраўненняў, каранямі якіх з'яўляюцца карані некаторага паліномнага ўраўнення. Групы паўсюдна выкарыстоўваюцца ў матэматыцы і прыродазнаўчых навуках, часта для выяўлення ўнутранай сіметрыі аб'ектаў (групы аўтамарфізмаў). Амаль усе структуры агульнай алгебры — асобныя выпадкі груп.

Тэорыя кольцаў[правіць | правіць зыходнік]

Кальцо — гэта мноства R, на якім зададзены дзве бінарныя аперацыі: + і × (так званыя складанне і множанне), з наступнымі ўласцівасцямі:

  1. \forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right) — камутатыўнасць складання;
  2. \forall a, b, c \in R \left(a + (b + c)) = ((a + b) + c\right) — асацыятыўнасць складання;
  3. \exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — існаванне нейтральнага элемента адносна складання;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b =  b + a = 0\right) — існаванне супрацьлеглага элемента адносна складання;
  5. \forall a, b, c \in R\; (a \times b) \times c=a \times (b \times c) — асацыятыўнасць множання (некаторыя аўтары не патрабуюць выканання гэтай аксіёмы)
  6. \forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.  — дыстрыбутыўнасць.

Універсальная алгебра[правіць | правіць зыходнік]

Універсальная алгебра з'яўляецца спецыяльным раздзелам агульнай алгебры, які займаецца вывучэннем характэрных для ўсіх алгебраічных сістэм уласцівасцей. Алгебраічная сістэма ўяўляе сабой адвольнае непустое мноства з зададзеным (магчыма, бесканечным) наборам канечнаарных аперацый над ім і канечнаарных адносін: \mathfrak A = \langle A, F, R\rangle, F = \langle f_1:A^{n_1} \to A, \dots f_i:A^{n_i} \to A, \dots \rangle, R= \langle r_1 \subseteq A^{m_1}, \dots r_i \subseteq A^{m_i}, \dots \rangle. Мноства A ў гэтым выпадку называецца носьбітам (або асноўным мноствам) сістэмы, набор функцыянальных і прэдыкатных знакаў з іх арнасцямі \langle F, R, \langle n_1, \dots n_i, \dots \rangle , \langle m_1 \dots m_i, \dots \rangle \rangle — яе сігнатурай. Сістэма з пустым мноствам адносін называецца ўніверсальнай алгебрай (у кантэксце прадмета — часцей проста алгебрай), а з пустым мноствам аперацый — мадэллю або сістэмай адносін, рэляцыйнай сістэмай.

У тэрмінах універсальнай алгебры, напрыклад, кальцо — гэта універсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая што алгебра \left(R, + \right) — абелева група, і аперацыя + дыстрыбутыўная злева і справа адносна math>\times</math>. Кальцо называецца асацыятыўным, калі мультыплікатыўны групоід з'яўляецца паўгрупай. Раздзел разглядае як уласна ўніверсальныя алгебры, так і спадарожныя структуры: маноід ўсіх эндамарфізмаў  \mathbf{End} \mathfrak A, група усіх аўтамарфізмаў  \mathbf{Aut} \mathfrak A, рашотак усіх падалгебр  \mathbf{Sub} \mathfrak A і ўсіх кангруэнцый \mathbf{Con} \mathfrak A[5].

Універсальная алгебра знаходзіцца на стыку логікі і алгебры[4].

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Линейная алгебра. Большая советская энциклопедия. Архівавана з першакрыніцы 27 снежня 2012. Праверана 20 снежня 2012.
  2. 2,0 2,1 2,2 Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия — М.: Советская энциклопедия, 1977.
  3. Алгебра. Большая советская энциклопедия. Архівавана з першакрыніцы 5 студзеня 2013. Праверана 29 снежня 2012.
  4. 4,0 4,1 4,2 Виноградов И. М. Общая алгебра // Математическая энциклопедия — М.: Советская энциклопедия, 1977.
  5. Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия — М.: Советская энциклопедия, 1977.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]