Алгебра

Трохмерны правабаковы кананоід, апісаны элементарнымі алгебраічнымі ўраўненнямі $x=v \times \cos(u)$, $y=v \times \sin(u)$, $z=2 \times \sin(u)$ .

А́лгебра (ар. الجبر «аль-джабр» - уз'яднанне, дапаўненне) — адзін з найстарэйшых радзелаў матэматыкі, які ўзнік яшчэ ў старажытнасці. Алгебра вывучае алгебраічныя структуры, аперацыі над элементамі мноствамі, аперацыі складання і множання, паняцці зменных і г. д. Вывучэнне ўласцівасцей кампазіцый рознага віду ў XIX стагоддзі прывяло да думкі, што асноўнай задачай алгебры з'яўляецца вывучэнне ўласцівасцей аперацый незалежна ад аб'ектаў, да якіх яны прымяняюцца. З тых часоў алгебра пачала разглядацца як агульная навука аб уласцівасцях і законах кампазіцыі аперацый. У нашыя дні алгебра ёсць адной з найважнейшых частак матэматыкі, якая знаходзіць прымяненне як у тэарэтычных, гэтак і ў практычных галінах навукі.

Сярод асноўных паняццяў, якімі аперуе алгебра:

• пераменная велічыня
• роўнасць
• няроўнасць
• ураўненне
• мнагасклад

Больш шырока алгебру разумеюць як навуку аб якасных і колькасных адносінах, якія ўзнікаюць у розных структурах (не абавязкова лікавых) - напрыклад, палях, групах, кольцах.

У адпаведнасці з гэтым разглядаюць такія раздзелы алгебры:

• элементарная алгебра – алгебра, якая вывучае алгебраічныя выразы над лікамі
• абстрактная алгебра – алгебра, якая вывучае алгебраічныя сістэмы, якія вызначаныя аксіяматычна.

Алгебра з'яўляецца адной з асноўных галінаў матэматыкі разам з геаметрыяй, аналізам, тапалогіяй, камбінаторыкай і тэорыяй лікаў.

Этымалогія

Найменне «алгебра» ужываецца ў розных алгебраічных сістэмах. Слова «алгебра» паходзіць ад назвы адной з першых кніг па алгебры «Hisab al-dżabr wa'l-mukabala» (Кніга вылічэнняў шляхам дапаўнення і раўнавагі), якую ў 825 годзе напісаў арабскі навуковец Аль-Харэзмі. Даслоўна яно азначае «папаўненне».

Гісторыя

Старажытны свет

Старажытнагрэчаскі матэматык Эўклід вылучае дэталі геаметрычнай алгебры.

Складаныя задачы ўмелі вырашаць у пачатку 2 тысячагоддзя да н.э. у старажытным Вавілоне: у матэматычных тэкстах, выкананых клінапісам на гліняных таблічках, ёсць квадратныя і біквадратныя ўраўненні, сістэмы ўраўненняў з дзвюма невядомымі і найпростыя кубічныя ўраўненні. Пры гэтым бабіляняне не выкарыстоўвалі літарных пазначэнняў, а прыводзілі рашэння тыповых задачаў, зводзячы рашэнне аналагічных задачаў да замены лікавых значэнняў. У лічбавай форме прыводзіліся таксама і некаторыя правілы тоесных пераўтварэнняў. Калі пры рашэнні ўраўнення трэба было знайсці квадратны корань ліку a, які не з'яўляецца дакладным квадратам, а набліжанае значэнне кораня x знаходзілі як сярэдняе арыфметычнае лікаў х і а/х.

Першыя агульныя сцвярджэнні аб тоесных пераўтварэннях сустракаюцца ў старажытнагрэчаскіх матэматыкаў, пачынаючы з VI стагоддзя да н.э. Сярод матэматыкаў старажытнай Грэцыі было прынята выяўляць усе алгебраічныя зацвярджэнні ў геаметрычнай форме. Замест дадання лікаў казалі аб складанні адрэзкаў, здабытак двух лікаў вытлумачвалі як плошчу прамавугольніка, а здабытак трох лікаў як аб'ём прамавугольнага паралелепіпеда. Алгебраічныя формулы прымалі выгляд суадносін паміж плошчамі і аб'ёмамі. Напрыклад, казалі, што плошча квадрата, пабудаванага на суме двух адрэзкаў, роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на гэтых адрэзках, павялічанай на падвоеную плошчу прамавугольніка, пабудаванага на гэтых адрэзках. Такім чынам з'явіліся тэрміны «квадрат ліку», ўто азначае здабытак велічыні на сябе, «куб ліку», «сярэдняе геаметрычнае». Геаметрычную форму ў грэкаў набыла рашэнне квадратнага раўнення — яны шукалі значэнне боку прамавугольніка па зададзенаму перыметру і плошчы.

Большасць задачаў у Грэцыі вырашалася шляхам пабудоў цыркулем і лінейкай. Але не ўсе задачы маглі быць вырашаны такімі метадамі. Прыкладамі гэткіх задачаў з'яўляецца падваенне куба, трысекцыя вугла, задача пабудовы правільнага сямівугольніка. Усе яны зводзіліся да кубічных ураўненняў выгляду $x^{3}=2$, $4x^{3}-3x=a$ і $x^{3}+x^{2}-2x-1=0$ адпаведна. Для вырашэння гэтых задачаў быў распрацаваны новы метад, — адшуканне кропак перасячэння канічных сячэнняў (эліпса, парабалы і гіпербалы).

Старажытнаіндыйскі матэматык Арыябгата I.

Геаметрычны падыход да алгебраічных праблем абмяжоўваў далейшае развіццё навукі. Напрыклад, можна было дадаваць велічыні рознай памернасці (даўжыні, плошчы, аб'ёма), нельга было казаць пра здабыткі больш за трох множнікаў. Ідэя адмовы ад геаметрычнай трактоўцы з'явілася ў Дыяфанта Александрыйскага, які жыў у III стагоддзі. У яго кнізе «Арыфметыка» з'яўляецца літарная сімволіка і спецыяльныя абазначэнні для ступеняў да 6-й. Былі ў яго і абазначэнні для адмоўных ступеняў, адмоўных лікаў, а таксама знак роўнасці (адмысловага знака для дадання яшчэ не было), кароткі запіс правілаў множання станоўчых і адмоўных лікаў. На далейшае развіццё алгебры моцны ўплыў мелі даследаваныя Дыяфантам задачы, якія прыводзяць да складаных сістэм алгебраічных ураўненняў, у тым ліку да сістэм, дзе колькасць ураўненняў было меншай за колькасць невядомых. Для такіх ураўненняў Дыяфант шукаў толькі станоўчыя рацыянальныя рашэнні.

З VI стагоддзя цэнтр матэматычных даследаванняў перамясціўся ў Індыю, Кітай, краіны Блізкага Усходу і Сярэдняй Азіі. Кітайскія навукоўцы распрацавалі метад паслядоўнага выключэння невядомых для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў, далі новыя метады набліжанага рашэння ўраўненняў вышэйшых ступеняў. Індыйскія матэматыкі, як то Арыябгата I, Брамагупта, выкарыстоўвалі адмоўныя лікі, удасканалілі літарную сімволіку. Аднак толькі ў працах вучоных Блізкага Усходу і Сярэдняй Азіі алгебра аформілася ў самастойную галіну матэматыкі, якая займаецца рашэннем ураўненняў. У IX стагоддзі ўзбекскі матэматык і астраном Мухамед аль-Харэзм напісаў трактат «Кітаб аль-джэбр Валь-мукабала», дзе даў агульныя правілы для вырашэння ўраўненняў першай ступені. Слова «аль-джэбр» (аднаўленне), ад якога новая навука атрымала сваю назву, азначала перанос адмоўных складнікаў ураўнення з адной часткі ў іншую са зменай знака. Навукоўцы Усходу вывучалі рашэнне кубічных ураўненняў, аднак не здолелі атрымаць агульнай формулы для іхных каранёў.

У Еўропе вывучэнне алгебры пачалося ў XIII стагоддзі. Адным з буйных матэматыкаў гэтага часу быў італьянец Леанарда Пізанскі, вядомы па мянушцы Фібаначы. яго «Кніга абака» 1202 года ёсць трактатам, які ўтрымоўваў звесткі па арыфметыцы і алгебры да квадратных ураўненняў уключна. Першым буйным самастойным дасягненнем заходнееўрапейскіх вучоных было адкрыццё формулы для вырашэння кубічнага ўраўнення, апублікаванай у 1545 годзе. Гэта было заслугай італьянскіх алгебраістаў Сцыпіёна дэль Фера, Нікола Тарталья і Джыралама Кардана. Вучань Кардана Ладавіка Ферары вырашыў і ўраўненне 4-й ступені. Вывучэнне некаторых пытанняў, звязаных з каранямі кубічных ураўненняў, прывяло італьянскага алгебраіста Рафаэля Бамбелі да адкрыцця камплексных лікаў.

Развіццё сімволікі

У 1545 годзе італьянскі матэматык Джыралама Кардана апублікаваў сваю працу «Ars Magna», у якім ён упершыню вылучыў метад рашэння агульнага ўраўнення чацвёртай ступені.

Адсутнасць зручнай і развітой сімволікі стрымлівала далейшае развіццё алгебры: самыя складаныя формулы даводзілася выкладаць у форме словаў. У канцы XV стагоддзя Лука Пачолі зрабіў спробу ўвесці алгебраічную сімволіку, аднак большага поспеху ў гэтай справе дасягнуў у канцы XVI стагоддзя французскі матэматык Франсуа Віет, які ўвёў літарныя абазначэнні не толькі для невядомых, але і для адвольных сталых велічыняў. Сімволіка Віета была ўдасканалена яго паслядоўнікамі. Канчатковы выгляд ёй надаў у XVII стагоддзі французскі філосаф і матэматык Рэнэ Дэкарт, які ўвёў абазначэнні для паказчыкаў ступеняў, якія прымяняюцца да гэтага часу.

Паступова пашыраўся запас лікаў, з якімі можна было выконваць дзеянні. Пачалі шырока ўжывацца адмоўныя лікі, затым — камплексныя, навукоўцы сталі вольна выкарыстоўваць ірацыянальныя лікі. Аказалася, што, нягледзячы на ​​такое пашырэнне запасу лікаў, раней усталяваныя правілы алгебраічных пераўтварэнняў захоўваюць сваю сілу. Нарэшце, Дэкарт здолеў вызваліць алгебру ад неўласцівай ёй геаметрычнай формы. Усё гэта дало магчымасць разглядаць пытанне рашэння ўраўненняў у самым агульным выглядзе, ужываць ураўненні да вырашэння геаметрычных задачаў. Напрыклад, задача аб знаходжанні пункту перасячэння дзвюх прамых звялася да вырашэння сістэмы ўраўненняў, якім задавальнялі пункты гэтых прамых. Гэты метад рашэння геаметрычных задачаў атрымаў назву аналітычнай геаметрыі.

Развіццё алфабетнай сімволікі дазволіла ўсталяваць агульныя сцвярджэнні адносна ўраўненняў: тэарэма Безу пра падзельнасць мнагачлена P (х) на двухмнагачлен (х — а), дзе a ёсць корань гэтага мнагачлена, формула Віета для суадносін паміж каранямі квадратнага ўраўнення і яго каэфіцыентамі; правілы, якія дазваляюць ацэньваць колькасць сапраўдных каранёў ураўнення, агульныя метады выключэння невядомых з сістэмы ўраўненняў і г. д.

Далейшыя поспехі

Асабліва далёка ў сферы вырашэння сістэмы лінейных ураўненняў удалося прасунуцца ў XVIII стагоддзі, гэта значыць для іх былі атрыманы формулы, якія дазваляюць выказаць рашэнне праз каэфіцыенты і свабодныя складнікі. Далейшае вывучэнне такіх сістэм ураўненняў прывяло да тэорыі матрыц і вызначальнікаў. У канцы XVIII стагоддзя было даказана, што любое алгебраічнае ўраўненне з камплекснымі каэфіцыентамі мае хаця б адзін камплексны корань. Гэта сцвярджэнне называецца асноўнай тэарэмай алгебры. На працягу двух з паловай стагоддзяў увага алгебраістаў была прыкаваная да задачы аб вывадзе формулы для рашэння агульнага ўраўнення 5-й ступені. Трэба было выказаць рашэнне гэтага ўраўнення праз яго каэфіцыенты з дапамогай арыфметычных аперацый і каранёў, гэта значыць вырашыць ураўненне ў радыкалах. Толькі ў XIX стагоддзі арт. італьянец Паола Руфіні і нарвежац Нільс Абель незалежна адзін ад аднаго даказалі, што такія формулы не існуюць (гл. Тэарэма Абеля-Руфіні). Гэтыя даследаванні былі скончаны французскім матэматыкам Эварытсам Галуа, метады якога дазволілі для гэтага ўраўнення вызначыць, вырашаецца яно ў радыкалах ці не. Адзін з самых выбітных матэматыкаў у гісторыі Карл Фрыдрых Гаус высвятліў, калі можна пабудаваць цыркулем і лінейкай правільны n-кутнік: дадзеная задача была наўпрост звязана з вывучэннем каранёў ураўнення xⁿ = 1. Высветлілася, што яна адрозная толькі тады, калі лік n ёсць простым лікам Ферма альбо здабыткам некалькіх розных простых лікаў Ферма. Тым самым малады студэнт, а Гаусу на той час было ўсяго дзевятнаццаць гадоў, вырашыў задачу, якой беспаспяхова займаліся навукоўцы больш двух тысячагоддзяў.

Спасылкі

• На ВікіСховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Алгебра

Раздзелы матэматыкі