Трыганаметрыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Трыганаметрыя (ад грэч.: τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч.: μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя функцыі
Адзінкавая акружнасць
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла \alpha на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень l з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла \alpha ад дадатнага праменя восі Ox супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння l з адзінкавай акружнасцю будзе M. Тады па азначэнню:

  • функцыя косінус \cos(\alpha) будзе абсцысай M,
  • функцыя сінус \sin(\alpha) будзе ардынатай M
  • функцыя тангенс \operatorname{tg}(\alpha) будзе дзеллю ардынаты M і яе абсцысы: \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
  • функцыя катангенс \operatorname{ctg}(\alpha) будзе дзеллю абсцысы M і яе ардынаты: \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}
  • функцыя секанс \sec(\alpha) будзе дзеллю \frac{1}{\sin(\alpha)}
  • функцыя касеканс \operatorname{cosec}(\alpha) будзе дзеллю \frac{1}{\cos(\alpha)}

Функцыі \sin(\alpha) і \cos(\alpha) вызначаныя на ўсём \mathbb{R}, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд 2\pi. Функцыя \operatorname{tg}(\alpha) не вызначана ў пунктах \pi n, n\in\mathbb{Z}, а функцыя \operatorname{ctg}(\alpha) не вызначана ў пунктах \pi n + \pi/2, n\in\mathbb{Z}, і абедзве маюць вобласць значэнняў \mathbb{R} і перыяд \pi.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя, адваротная да

  • \sin(\alpha) называецца арксінус \arcsin(\alpha)
  • \cos(\alpha) называецца арккосінус \arccos(\alpha)
  • \operatorname{tg}(\alpha) называецца арктангенс \operatorname{arctg}(\alpha)
  • \operatorname{ctg}(\alpha) называецца арккатангенс \operatorname{arcctg}(\alpha)

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1.

Формула косінуса сумы: \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)

Формула косінуса рознасці: \cos(\alpha-\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

Формула сінуса сумы: \sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)

Формула сінуса рознасці: \sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай[правіць | правіць зыходнік]

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі \sin(x) і \cos(x) ў рад Тэйлара:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!} + \dots,

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + \dots

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай z:

\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!} + \dots,

\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} + \dots.

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё \mathbb{C}.

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

 \alpha \,\! 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
 \sin \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{1}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! {1}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\!
 \cos \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{1}{2}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\! {1}\,\!
 \operatorname{tg} \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!  {1}\,\!   \sqrt{3}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\!
 \operatorname{ctg} \alpha \,\! {\infty}\,\!   \sqrt{3}\,\! {1} \,\!  \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!  {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\!
 \sec \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!   \sqrt{2}\,\!  {2}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!  {1}\,\!
 \operatorname{cosec} \alpha \,\! {\infty}\,\!  {2}\,\!   \sqrt{2}\,\!  \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\! {1}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.


Ужыванне[правіць | правіць зыходнік]

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
  • Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
  • И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»