Трыганаметрыя

З пляцоўкі Вікіпедыя.

Трэба выправіць арфаграфію

Магчыма гэты машынны пераклад або выскарытанне ненарматыўнага правапісу ды лексікону. Для спраўджэння існуюць адмысловыя праграмы.

Трыганаметрыя (грэч. "трыганон" трохвугольнік + "мятрэзіс" вымярэнне), раздзел матэматыкі пра суадносіны бакоў і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі - "рашэнне трохвугольніка", г.зн., вылічэнне невядомых велічынь паводле вядомых.

Змест

1 Гісторыя
2 Трыганаметрычныя функцыі
3 Зваротныя трыганаметрычныя функцыі
4 Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці
5 Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай
6 Ужыванне
7 Глядзі таксама
8 Літаратура

[правіць] Гісторыя

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі да астранамічных вылічэнняў. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматык, які карыстаўся геаметрыёй і трыганамэтрыёй ў сваёй кнізе «Джьетыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшая частка прац якога была знішчаная замежнымі захопнікамі.

Грэцкі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

[правіць] Трыганаметрычныя функцыі

Асноўны артыкул: Уласцівасці трыганаметрычных функцыяў

Адзінкавая акружнасць

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзем прамень $l$ з пачатка адліку і будзем адлічваць велічыню вугла $α$ ад дадатнага праменя восі $O x$ супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню можна лічыць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядваць у градусах. Няхай пунктам скрыжавання $l$ з адзінкавай акружнасцю будзе $M$ . Тады па азначэнні:

функцыя косінус $c o s (α)$ будзе абсцысай $M$ ,
функцыя сінус $s i n (α)$ будзе ардынатай $M$
функцыя тангенс $t g (α)$ будзе дзеллю ардынаты $M$ і яе абсцысы: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$
функцыя катангенс $c t g (α)$ будзе дзеллю абсцысы $M$ і яе ардынаты: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$
функцыя секанс $s e c (α)$ будзе дзеллю $\frac{1)}{sin(\alpha)}$
функцыя касеканс $c o s e c (α)$ будзе дзеллю $\frac{1}{cos(\alpha)}$

Графік функцыі y = sin(x)

Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі $s i n (α)$ і $c o s (α)$ вызначаныя на ўсём $\mathbb{R}$ , вобласць значэнняў [-1,1] і пэрыяд $2π$ . Функцыя $t g (α)$ не вызначана на $π * n$ , $n\in\mathbb{Z}$ , а функцыя $c t g (α)$ не вызначана на $π * n + π / 2$ , $n\in\mathbb{Z}$ , і абедзве маюць вобласць значэнняў $\mathbb{R}$ і перыяд $π$ .

[правіць] Зваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, зваротная да

$s i n (α)$ завецца арксінус $a r c s i n (α)$
$c o s (α)$ завецца арккосінус $a r c c o s (α)$
$t g (α)$ завецца арктангенс $a r c t g (α)$
$c t g (α)$ завецца арккатангенс $a r c c t g (α)$

[правіць] Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць $s i n 2 (α) + c o s 2 (α) = 1$ .

Формула косінуса сумы: $c o s (α + β) = c o s (α) c o s (b e t a) - s i n (α) s i n (β)$

Формула косінуса рознасці: $c o s (α - β) = c o s (α) c o s (b e t a) + s i n (α) s i n (β)$

Формула сінуса сумы: $s i n (α + β) = s i n (α) c o s (b e t a) + s i n (β) c o s (α)$

Формула сінуса рознасці: $s i n (α - β) = s i n (α) c o s (b e t a) - s i n (β) c o s (α)$

[правіць] Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзем функцыі $s i n (x)$ і $c o s (x)$ ў рад Тэйлара:

$sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -...+ (-1)^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$

$cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

- і вызначым трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай $z$ :

$sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} -...+ (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!}$

$cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} -...+ (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}$

Большасць уласцівасцей гэтых функцыяў для сапраўднай зменнай распаўсюджваецца і на комплексную зменную. Але на комплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў - усё $\mathbb{C}$ .

[правіць] Ужыванне

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

[правіць] Глядзі таксама

Сферычная трыганаметрыя

Эліптычная трыганаметрыя

Гіпербалічная трыганаметрыя

[правіць] Літаратура

Я.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»

Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. «Тригонометрия»

И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»

Трыганаметрыя

З пляцоўкі Вікіпедыя.

Змест

[правіць] Гісторыя

[правіць] Трыганаметрычныя функцыі

[правіць] Зваротныя трыганаметрычныя функцыі

[правіць] Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

[правіць] Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

[правіць] Ужыванне

[правіць] Глядзі таксама

[правіць] Літаратура

Віды

Асабістыя прылады

Навігацыя

Знайсці

Прылады

На іншых мовах