Трыганаметрыя (ад грэч. τρίγωνον «трохвугольнік » і грэч. μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку . Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка », г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце , Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.
Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.
Адзінкавая акружнасць
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла
α
{\displaystyle \alpha }
на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам
Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень
l
{\displaystyle l}
з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла
α
{\displaystyle \alpha }
ад дадатнага праменя восі
O
x
{\displaystyle Ox}
супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах , радыянах ці градах . Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння
l
{\displaystyle l}
з адзінкавай акружнасцю будзе
M
{\displaystyle M}
. Тады па азначэнню:
функцыя косінус
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
будзе абсцысай
M
{\displaystyle M}
,
функцыя сінус
sin
(
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha )}
будзе ардынатай
M
{\displaystyle M}
функцыя тангенс
tg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}
будзе дзеллю ардынаты
M
{\displaystyle M}
і яе абсцысы:
tg
(
α
)
=
sin
(
α
)
cos
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}
функцыя катангенс
ctg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}
будзе дзеллю абсцысы
M
{\displaystyle M}
і яе ардынаты:
ctg
(
α
)
=
cos
(
α
)
sin
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
функцыя секанс
sec
(
α
)
{\displaystyle \sec(\alpha )}
будзе дзеллю
1
sin
(
α
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sin(\alpha )}}}
функцыя касеканс
cosec
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {cosec} (\alpha )}
будзе дзеллю
1
cos
(
α
)
{\displaystyle {\frac {1}{\cos(\alpha )}}}
Графік функцыі y = sin(x)
Графік функцыі y = cos(x)
Функцыі
sin
(
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha )}
і
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
вызначаныя на ўсём
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Функцыя
tg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}
не вызначана ў пунктах
π
n
{\displaystyle \pi n}
,
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
, а функцыя
ctg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}
не вызначана ў пунктах
π
n
+
π
/
2
{\displaystyle \pi n+\pi /2}
,
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
, і абедзве маюць вобласць значэнняў
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
і перыяд
π
{\displaystyle \pi }
.
Функцыя, адваротная да
sin
(
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha )}
называецца арксінус
arcsin
(
α
)
{\displaystyle \arcsin(\alpha )}
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
называецца арккосінус
arccos
(
α
)
{\displaystyle \arccos(\alpha )}
tg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}
называецца арктангенс
arctg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {arctg} (\alpha )}
ctg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}
называецца арккатангенс
arcctg
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {arcctg} (\alpha )}
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць
sin
2
(
α
)
+
cos
2
(
α
)
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}
.
Формула косінуса сумы:
cos
(
α
+
β
)
=
cos
(
α
)
cos
(
β
)
−
sin
(
α
)
sin
(
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}
Формула косінуса рознасці:
cos
(
α
−
β
)
=
cos
(
α
)
cos
(
β
)
+
sin
(
α
)
sin
(
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}
Формула сінуса сумы:
sin
(
α
+
β
)
=
sin
(
α
)
cos
(
β
)
+
sin
(
β
)
cos
(
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )}
Формула сінуса рознасці:
sin
(
α
−
β
)
=
sin
(
α
)
cos
(
β
)
−
sin
(
β
)
cos
(
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )}
Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай [ правіць | правіць зыходнік ]
y = sin(x) на комплекснай плоскасці
Раскладзём функцыі
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
і
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
ў рад Тэйлара :
sin
(
x
)
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
+
(
−
1
)
k
x
2
k
−
1
(
2
k
−
1
)
!
+
…
,
{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}
cos
(
x
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
+
(
−
1
)
k
x
2
k
(
2
k
)
!
+
…
{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots }
і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай
z
{\displaystyle z}
:
sin
(
z
)
=
z
−
z
3
3
!
+
z
5
5
!
−
⋯
+
(
−
1
)
k
z
2
k
−
1
(
2
k
−
1
)
!
+
…
,
{\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}
cos
(
z
)
=
1
−
z
2
2
!
+
z
4
4
!
−
⋯
+
(
−
1
)
k
z
2
k
(
2
k
)
!
+
…
.
{\displaystyle \cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .}
Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў [ правіць | правіць зыходнік ]
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
0°(0 рад)
30° (π /6)
45° (π /4)
60° (π /3)
90° (π /2)
180° (π )
270° (3π /2)
360° (2π )
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
sec
α
{\displaystyle \sec \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
{\displaystyle {2}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
cosec
α
{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha \,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
2
{\displaystyle {2}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі , фізікі і інжынерыі .
Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»