Ураўненне Паўлі: Розніца паміж версіямі
[недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Няма тлумачэння праўкі |
арфаграфія |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
{{Квантавая механіка}} |
{{Квантавая механіка}} |
||
'' |
'''Ураўненне Паўлі''' — ураўненне нерэлятывісцкай [[квантавая механіка|квантавай механікі]], якое апісвае рух [[Зарад электрычны|зараджанай]] часціцы са [[спін]]ам 1/2 (напрыклад, [[электрон]]а) у вонкавым [[Электрамагнітнае поле|электрамагнітным полі]]. Прапанавана [[Вольфганг Паўлі|Вольфгангам Паўлі]] ў [[1927]] годзе. Не блытаць з [[Асноўнае ўраўненне кінетычнай тэорыі|асноўным кінетычным ураўненнем]], таксама часам званым ураўненнем Паўлі. |
||
Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем [[ураўненне Шродзінгера|ураўнення Шродзінгера]], якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, якое прымаецца звычайна за вось ''z''. У адпаведнасці з гэтым [[хвалевая функцыя]] часціцы <math>\psi (r,t)</math> (дзе ''r'' — [[Сістэма каардынат|каардыната]] часціцы, ''t'' — [[час]]) з’яўляецца дзвюхкампанентнай: |
|||
: <math> |
: <math> |
||
\psi (r,t)=\begin{pmatrix} |
\psi (r,t)=\begin{pmatrix} |
||
Радок 9: | Радок 9: | ||
\end{pmatrix}. |
\end{pmatrix}. |
||
</math> |
</math> |
||
Пры паваротах каардынатных восяў <math>\psi_1</math> i <math>\psi_2</math> пераўтворацца як кампаненты [[ |
Пры паваротах каардынатных восяў <math>\psi_1</math> i <math>\psi_2</math> пераўтворацца як кампаненты [[спінар]]а. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак <math>\psi</math> i <math>\psi'</math> мае выгляд |
||
: <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math> |
: <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math> |
||
Аператары фізічных велічынь |
Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы. |
||
У сілу агульных законаў [[Электрадынаміка | электрадынамікі]] электрычна зараджаная сістэма з |
У сілу агульных законаў [[Электрадынаміка | электрадынамікі]] электрычна зараджаная сістэма з адрозным ад нуля спінавым момантам <math> \vec{s} </math> валодае і [[Магнітны момант | магнітным момантам]], прапарцыйным <math> \vec{s}</math>: <math>\vec{ \mu}=g \vec{s} </math> (g — [[гірамагнітныя адносіны]]). Для арбітальнага моманту <math>g={e \over 2mc}</math>, дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: <math>g={e \over mc}</math>. У вонкавым магнітным полі напружанасці <math>\vec{B}</math> магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй <math> U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} </math>, даданне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі <math> \phi </math> і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі: |
||
: <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math> |
: <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math> |
||
дзе <math> \hat p</math> |
дзе <math> \hat p</math> — аператар імпульсу, <math>\hat I</math> — адзінкавы аператар, а <math>\hat \sigma</math> прапарцыйны аператару спіна: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>. |
||
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў |
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага [[ураўненне Дзірака|ураўнення Дзірака]] ў слабарэлятывісцкім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па зваротным ступеням хуткасці святла. |
||
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, дзе <math> \Phi (r,t)</math> |
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, дзе <math> \Phi (r,t)</math> — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ураўненню Шродзінгера, а спінар <math> |
||
\chi= |
\chi= |
||
\begin{pmatrix} |
\begin{pmatrix} |
||
Радок 23: | Радок 24: | ||
\chi_2 |
\chi_2 |
||
\end{pmatrix} |
\end{pmatrix} |
||
</math> задавальняе |
</math> задавальняе ураўненню |
||
: <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math> |
: <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math> |
||
З гэтага |
З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> прэцэсіруе вакол |
||
напрамку магнітнага поля: |
|||
: <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math> |
: <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math> |
||
Тут <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> |
Тут <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> — [[цыклатронная частата]], <math> \vec{n} </math> — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля. |
||
На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна ([[эфект Зеемана]]). Аднак больш тонкія |
На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна ([[эфект Зеемана]]). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеням хуткасці святла. |
||
== Літаратура == |
== Літаратура == |
||
* Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62. |
* Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62. |
||
* Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63. |
* Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63. |
||
* Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с. |
* Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с. |
||
* Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая электродинамика, 2002. |
* Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика, 2002. |
||
* Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с. |
* Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с. |
||
== |
== Гл. таксама == |
||
* [[Ураўненне Дзірака]] |
* [[Ураўненне Дзірака]] |
||
* [[Ураўненне Шродзінгера]] |
* [[Ураўненне Шродзінгера]] |
||
⚫ | |||
{{phys-stub}} |
|||
⚫ | |||
{{rq|wikify|refless}} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ |
Версія ад 12:45, 17 лістапада 2019
Ураўненне Паўлі — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з асноўным кінетычным ураўненнем, таксама часам званым ураўненнем Паўлі.
Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, якое прымаецца звычайна за вось z. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы (дзе r — каардыната часціцы, t — час) з’яўляецца дзвюхкампанентнай:
Пры паваротах каардынатных восяў i пераўтворацца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак i мае выгляд
Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.
У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з адрозным ад нуля спінавым момантам валодае і магнітным момантам, прапарцыйным : (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту , дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: . У вонкавым магнітным полі напружанасці магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй , даданне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:
дзе — аператар імпульсу, — адзінкавы аператар, а прапарцыйны аператару спіна: .
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага ураўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па зваротным ступеням хуткасці святла. Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд , дзе — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ураўненню Шродзінгера, а спінар задавальняе ураўненню
З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:
Тут — цыклатронная частата, — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля. На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеням хуткасці святла.
Літаратура
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
- Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
- Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика, 2002.
- Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.