Геаметрычная імавернасць

У тэорыі імавернасцей геаметрычная імавернасць — мадэль імавернаснай прасторы для задач, у якіх прастора элементарных падзей ёсць некаторым падмноствам прасторы $\mathbb {R} ^{n}$^:24-25.

Азначэнне

Няхай $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ і $\Omega$ мае канечны дадатны $n$-мерны аб’ём, які пазначым праз $|\Omega |$. Праз ${\mathcal {A}}$ пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу падмностваў $\Omega$. За імавернасць падзеі $A\in {\mathcal {A}}$ прымаецца лік

$$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},$$

дзе праз $|A|$ пазначаны $n$-мерны аб’ём (мера Лебега) мноства $A$.

Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега.

Выкарыстанне

Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Прыклады

Задача Бюфона

Ілюстрацыя да задачы Бюфона

Адзін з прыкладаў выкарыстання геаметрычнай імавернасці — задача Бюфона^:26-27.

На гарызантальную паверхню, разлінееную паралельнымі прамымі на адлегласці $2a$ паміж сабой кідаецца іголка даўжынёй $2l$, $0<l<a$. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ якую-кольвек прамую.

Развязанне

Становішча іголкі можна параметрызаваць значэннямі $x$ і $\varphi$, дзе $x\in [0,a]$ — адлегласць паміж цэнтрам іголкі і бліжэйшай прамой, а $\varphi \in [0,\pi ]$ — вугал паміж іголкай і прамымі. Параметры $x$ і $\varphi$ незалежныя адзін ад аднаго, таму за прастору элементарных падзей можна прыняць прамавугольнік $\Omega =[0,\pi ]\times [0,a]$.

З ілюстрацыі відаць, што іголка перасякае прамую тады і толькі тады, калі $x\leq \sin {\varphi }$. Такім чынам, падзея перасячэння адпавядае мноству $A=\{(\varphi ,x)|0\leq \varphi \leq \pi ,0\leq x\leq l\sin {\varphi }\}$. Знойдзем плошчу мноства $A$, палічыўшы інтэграл

$$|A|=\int _{0}^{\pi }l\sin {\varphi }d\varphi =-l\cos {\phi }{\Bigg |}_{0}^{\pi }=2l.$$

Па формуле геаметрычнай імавернасці знаходзім $P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {2l}{a\pi }}.$