Тэарэма множання імавернасцей

Тэарэма множання імавернасцей дае магчымасць падлічыць імавернасць здабытку некалькіх падзей, выкарыстоўваючы ўмоўную імавернасць.

Фармулёўка^:34-36

Для дзвюх падзей

Для дзвюх падзей $A$ і $B$, такіх што $P(B)>0$ выконваецца

$$P(AB)=P(A|B)P(B),$$

дзе $P(A|B)$ — умоўная імавернасць $A$ пры выкананні $B$.

Для канечнага мноства падзей

Для канечнага мноства падзей $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$, такіх што $P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})>0$ выконваецца

$$P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).$$

Доказ

Тэарэма даказваецца метадам матэматычнай індукцыі.

Для $n=2$ роўнасць вынікае з азначэння ўмоўнай імавернасці $P(A|B)=P(AB)/P(B)$, дамнажаючы абодва бакі на $P(B)$.

Дапусцім, што $n>2$ і выконваецца

$$P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n-1}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-2}).$$

Пазначым $B=A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}$ і атрымаем

$$P(A_{1}\dots A_{n-1}A_{n})=P(BA_{n})=P(B)P(A_{n}|B)=$$

$$=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).$$

Прыклад выкарыстання

Разгледзім скрыню з $N$ шарамі, $M$ з якіх белыя, а астатнія чорныя. Будзем браць паслядоўна тры шары са скрыні. Трэба знайсці імавернасць таго, што першы і трэці выцягнутыя шары — белыя, а другі — чорны.

Пазначым падзеі $A_{1}$ — «першы шар — белы», $A_{2}$ — «другі шар — чорны», $A_{3}$ — «трэці шар — белы». Тады падзея, якая нас цікавіць, — $A_{1}A_{2}A_{3}$. Знойдзем яе імавернасць з дапамогай тэарэмы множання імавернасцей:

$$P(A_{1}A_{2}A_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})={\frac {M}{N}}{\frac {N-M}{N-1}}{\frac {M-1}{N-2}}.$$