Формула поўнай імавернасці

Формула поўнай імавернасці дае магчымасць падлічыць імавернасць падзеі праз умоўныя імавернасці гэтай падзеі ў дапушчэнні некаторых гіпотэз і імавернасці гэтых гіпотэз.

Фармулёўка

Калі $\{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ — поўная група падзей і $P(A_{j})>0$ для ўсіх $j=1,2,\dots ,n$, то для кожнай падзеі $B$ справядліва роўнасць

$$P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць $P(B|A_{k})$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць $B$ пры выкананні гіпотэзы $A_{k}$»^:37.

Доказ

Распішам $B$ як

$$B=\Omega B=(A_{1}+A_{2}+\dots +A_{n})B=A_{1}B+A_{2}B+\dots +A_{n}B,$$

дзе $\Omega$ — прастора элементарных падзей, а ўсе падзеі $A_{k}B$ парамі дыз’юнктныя. Дастасоўваючы ўласцівасць канечнай адытыўнасці і тэарэму множання імавернасцей, атрымліваем

$$P(B)=P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}B\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).$$