Рэлятывісцкая механіка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Рэлятывісцкая механіка — раздзел фізікі, які разглядае законы механікі (законы руху цел і часціц) пры хуткасцях, параўнальных з хуткасцю святла. Пры хуткасцях, значна меншых за хуткасць святла, пераходзіць у класічную (ньютанаўскую) механіку.

Агульныя прынцыпы[правіць | правіць зыходнік]

У класічнай механіцы прасторавыя каардынаты і час з'яўляюцца незалежнымі (пры адсутнасці сувязей, якія залежаць ад часу), час з'яўляецца абсалютным, гэта значыць, што ён цячэ аднолькава ва ўсіх сістэмах адліку, і дзейнічаюць пераўтварэнні Галілея. У рэлятывісцкай жа механіцы падзеі адбываюцца ў чатырохмернай прасторы (т.зв. "прасторы Мінкоўскага"), якая аб'ядноўвае фізічную трохмерную прастору і час. У прасторы Мінкоўскага пераход ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да другой адпавядае пераўтварэнням Лорэнца. Такім чынам, у адрозненне ад класічнай механікі, адначасовасць падзей залежыць ад выбару сістэмы адліку.

Асноўныя законы рэлятывісцкай механікі — рэлятывісцкае абагульненне другога закона Ньютана і рэлятывісцкі закон захавання энергіі-імпульсу — з'яўляюцца вынікам такога "змяшэння" прасторавых і часавых каардынат пры пераўтварэннях Лорэнца.

Другі закон Ньютана ў рэлятывісцкай механіцы[правіць | правіць зыходнік]

Сіла вызначаецца як

\vec F= \frac {d\vec p}{dt},

дзе \vec p — рэлятывісцкі імпульс, азначаны па формуле:

\vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}.

Каб вызначыць сілу, возьмем вытворную па часу ад апошняга выразу і атрымаем:

\frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ),

дзе

\vec{\beta} := \frac {\vec{v}}{c};
\gamma := \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

У выніку выраз для сілы набывае выгляд:

\vec F= m\gamma\vec a +m\gamma^3 \vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ).

Адсюль відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, у адрозненне ад нерэлятывісцкага выпадку, паскарэнне не абавязкова накіраванае па сіле, у агульным выпадку паскарэнне мае таксама і складнік, накіраваны па хуткасці.

Функцыя Лагранжа свабоднай часціцы ў рэлятывісцкай механіцы[правіць | правіць зыходнік]

Запішам інтэграл дзеяння, зыходзячы з прынцыпу найменшага дзеяння:

S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds,

дзе \alpha — дадатны лік. Як вядома са спецыяльнай тэорыі адноснасці

ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt,

падстаўляючы ў інтэграл руху, знаходзім:

S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c  \sqrt{1-v^2/c^2}dt.

Але, з іншага боку, інтэграл руху, можна выразіць праз функцыю Лагранжа: S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt. Параўноўваючы апошнія два выразы, няцяжка зразумець, што падынтэгральныя выразы павінны быць роўныя, гэта значыць:

\mathcal{L}=-  \alpha c  \sqrt{1-v^2/c^2}.

Далей, раскладзём апошні выраз па ступенях \frac{v}{c}, атрымаем:

\mathcal{L}\simeq \alpha c  + \frac{\alpha v^2}{2c},

першы член раскладання не залежыць ад хуткасці, а значыць не ўносіць ніякіх змен ва ўраўненні руху. Тады, параўноўваючы з класічным выразам функцыі Лагранжа:  \frac{m v^2}{2}, няцяжка вызначыць пастаянную \alpha:

\alpha = mc.

Такім чынам, канчаткова атрымліваем выгляд функцыі Лагранжа свабоднай часціцы:

\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}.

Меркаванні, прыведзеныя вышэй, можна разглядаць не толькі для часціцы, але і для адвольнага цела, галоўнае, каб яго часткі рухаліся як адно цэлае.

Зноскі

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]