Ураўненне Кеплера

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Анімацыя, якая ілюструе сапраўдную анамалію, эксцэнтрычную анамалію, сярэднюю анамалію і рашэнне ўраўнення Кеплера (у правым верхнім куце), эксцэнтрысітэт - 0,6.

Ураўненне Кеплера апісвае рух цела па эліптычнай арбіце ў задачы двух цел і мае выгляд:

~E-\varepsilon\sin E = M

дзе E - эксцэнтрычная анамалія, \varepsilon - эксцэнтрысітэт, M - сярэдняя анамалія.

Упершыню гэта ўраўненне было атрымана астраномам Іаганам Кеплерам ў 1619 годзе. Адыгрывае значную ролю ў нябеснай механіцы.

Варыянты рашэння ўраўнення Кеплера[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Кеплера ў класічнай форме апісвае рух толькі па эліптычных арбітах, гэта значыць пры 0 ≤ ε <1. Рух па гіпербалічнай арбітах (ε > 1) падпарадкоўваецца гіпербалічнаму ўраўненні Кеплера, падобныя па форме з класічным. Рух па прамой лініі (ε = 1) апісваецца радыяльным ураўненнем Кеплера. Нарэшце, для апісання руху па парабалічнай арбіце (ε = 1) выкарыстаюць ураўненне Баркера. Пры ε < 0 арбіт не існуе.

Задача, якая прыводзіць да ўраўнення Кеплера[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім рух цела па арбіце ў поле іншага цела. Знойдзем залежнасць становішча цела на арбіце ад часу. З II закона Кеплера вынікае, што

 r^2 \frac{d\upsilon}{dt} = const = \sqrt{\mu a \left(1-\varepsilon^2\right)}.

Тут r - адлегласць ад да цела ад цэнтра, які гравітуе, υ - сапраўдная анамалія - вугал паміж напрамкамі на перыцэнтр арбіты і на цела, μ = GM0 - твор пастаяннага прыцягнення на масу цела, якое гравітуе, a - вялікая паўвось арбіты. Адсюль можна атрымаць залежнасць часу руху па арбіце ад сапраўднай анамаліі:

t - t_p = \frac{1}{\sqrt{\mu a \left(1 - \varepsilon^2\right)}} \int\limits_0^\upsilon r^2 d\upsilon.

Тут tp - час праходжанне праз перыцэнтр.

Далейшае рашэнне задачы залежыць ад тыпу арбіты, па якой рухаецца цела.

Рашэнне ўраўнення Кеплера[правіць | правіць зыходнік]

Рашэнне ўраўнення Кеплера ў эліптычнаму і гіпербалічнаму выпадках існуе і адзіна пры любых рэчыўных M. Для кругавой арбіты (ε = 0) ураўненне Кеплера прымае трывіяльны выгляд М = E. У агульным выглядзе ўраўненне Кеплера трансцэндэнтнае, яно не вырашаецца ў алгебраічных функцыях. Аднак, яго рашэнне можна знайсці рознымі спосабамі з дапамогай збежных шэрагаў. Агульнае рашэнне ўраўнення Кеплера можна запісаць з дапамогай шэрагаў Фур'е:

E = M + 2\cdot\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n}J_n\left(n\varepsilon\right)\cdot\sin{nM},

дзе

J_m\left(x\right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi \cos\left(mE - x\sin{E}\right) dE

— функцыя Бессэля.

Гэты шэраг сыходзіцца, калі велічыня ε не перавышае значэнні мяжы Лапласа.

Прыблізныя метады[правіць | правіць зыходнік]

Сярод лікавых метадаў рашэння ўраўнення Кеплера часта выкарыстоўваюцца метад нерухомай кропкі («метад простай ітэрацыі») і метад Ньютана. Для эліптычнага выпадку ў метадзе нерухомай кропкі за пачатковае значэнне E0 можна ўзяць M, а паслядоўныя набліжэння маюць наступны выгляд:

E_{n+1}=\varepsilon \sin E_n+M

У гіпербалічных выпадку метад нерухомай кропкі падобным чынам выкарыстаць нельга, аднак гэты метад дае магчымасць вывесці для такога выпадку іншую формулу набліжэнняў (з гіпербалічным арксінусам):

H_{n+1}=\operatorname{Ar sh}\frac{H_n+M}{\varepsilon}

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. Москва, "Наука", 1990 г.
  • В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. Век-2, 2006 г. ISBN 5-85099-168-9
  • Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.