Трыганаметрыя: Розніца паміж версіямі
[недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Няма тлумачэння праўкі |
Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
'''Трыганаметрыя''' (ад {{lang-el|τρίγωνον}} |
'''Трыганаметрыя''' (ад {{lang-el|τρίγωνον}} «[[трохвугольнік]]» і {{lang-el|μετρειν}} «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у [[трохвугольнік]]у. Асноўная задача трыганаметрыі — «[[рашэнне трохвугольніка]]», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых. |
||
== Гісторыя == |
== Гісторыя == |
||
{{Галоўны артыкул|Гісторыя трыганаметрыі}} |
{{Галоўны артыкул|Гісторыя трыганаметрыі}} |
||
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у [[Старажытны Егіпет|старажытным Егіпце]], [[Вавілон]]е і даліне [[Інд]]а больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні [[алгебра|алгебры]] і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. [[Лагадха]] |
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у [[Старажытны Егіпет|старажытным Егіпце]], [[Вавілон]]е і даліне [[Інд]]а больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні [[алгебра|алгебры]] і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. [[Лагадха]] — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі. |
||
Грэчаскі матэматык [[Клаўдзій Пталамей]] таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі. |
Грэчаскі матэматык [[Клаўдзій Пталамей]] таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі. |
||
Радок 63: | Радок 63: | ||
<math>\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} + \dots.</math> |
<math>\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} + \dots.</math> |
||
Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў |
Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё <math>\mathbb{C}</math>. |
||
== Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў == |
== Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў == |
||
Радок 95: | Радок 95: | ||
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях [[геаметрыя|геаметрыі]], [[фізіка|фізікі]] і [[інжынерная справа|інжынерыі]]. |
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях [[геаметрыя|геаметрыі]], [[фізіка|фізікі]] і [[інжынерная справа|інжынерыі]]. |
||
== |
== Гл. таксама == |
||
* [[Сферычная трыганаметрыя]] |
* [[Сферычная трыганаметрыя]] |
||
* [[Эліптычная трыганаметрыя]] |
* [[Эліптычная трыганаметрыя]] |
||
Радок 101: | Радок 101: | ||
== Літаратура == |
== Літаратура == |
||
* ''Я.Я. |
* ''Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»'' |
||
* ''Ю.Ю. |
* ''Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»'' |
||
* ''И.И. |
* ''И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»'' |
||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
||
{{Раздзелы матэматыкі}} |
|||
⚫ | |||
[[Катэгорыя:Трыганаметрыя]] |
|||
⚫ | |||
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]] |
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]] |
Версія ад 17:04, 24 снежня 2013
Трыганаметрыя (ад грэч. τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч. μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.
Гісторыя
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.
Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.
Трыганаметрычныя функцыі
Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла ад дадатнага праменя восі супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння з адзінкавай акружнасцю будзе . Тады па азначэнню:
- функцыя косінус будзе абсцысай ,
- функцыя сінус будзе ардынатай
- функцыя тангенс будзе дзеллю ардынаты і яе абсцысы:
- функцыя катангенс будзе дзеллю абсцысы і яе ардынаты:
- функцыя секанс будзе дзеллю
- функцыя касеканс будзе дзеллю
Функцыі і вызначаныя на ўсём , вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд . Функцыя не вызначана ў пунктах , , а функцыя не вызначана ў пунктах , , і абедзве маюць вобласць значэнняў і перыяд .
Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя, адваротная да
- называецца арксінус
- называецца арккосінус
- называецца арктангенс
- называецца арккатангенс
Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць .
Формула косінуса сумы:
Формула косінуса рознасці:
Формула сінуса сумы:
Формула сінуса рознасці:
Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай
Раскладзём функцыі і ў рад Тэйлара:
і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай :
Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё .
Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).
0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ужыванне
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.
Гл. таксама
Літаратура
- Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
- Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
- И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»