Дыферэнцыяльная геаметрыя

Дыферэнцыя́льная геаме́трыя — раздзел геаметрыі, які вывучае геаметрычныя вобразы (крывыя і паверхні) сродкамі матэматычнага аналізу, у першую чаргу — дыферэнцыяльнага злічэння.

Аб’екты дыферэнцыяльнай геаметрыі — крывыя і паверхні эўклідавай прасторы, іх сем’і (непарыўныя сукупнасці крывых і паверхняў). У дыферэнцыяльнай геаметрыі даследуюцца ўласцівасці, характэрныя бесканечна малой частцы геаметрычных вобразаў (дыферэнцыяльныя ўласцівасці). У адрозненне ад элементарнай і аналітычнай геаметрыі, якія вывучаюць асобныя крывыя і паверхні ці спецыяльныя класы крывых і паверхняў, дыферэнцыяльная геаметрыя разглядае крывыя і паверхні наогул.

Класічная дыферэнцыяльная геаметрыя вывучае дыферэнцыяльныя ўласцівасці геаметрычных вобразаў звычайнай трохмернай прасторы, якія не залежаць ад становішча ў прасторы.

Асноўныя паняцці дыферэнцыяльнай геаметрыі:

• крывізна крывой
• радыус крывізны
• цэнтр крывізны
• эвалюта
• эвальвента

Асобныя паняцці дыферэнцыяльнай геаметрыі сустракаюцца ў 2-й палавіне 17 ст. ў працах англійскага вучонага І. Ньютана, нямецкага матэматыка Г. Лейбніца і інш. Асновы тэорыі паверхняў закладзены ў канцы 18 ст. працамі Л. Эйлера і французскага вучонага Г. Монжа. Значны ўклад у развіццё дыферэнцыяльнай геаметрыі зрабілі К. Гаус, рускія матэматыкі К. М. Петэрсон (пабудаваў асновы класічнай тэорыі паверхняў) і М. І. Лабачэўскі, нямецкі матэматык Б. Рыман.

Асноўныя напрамкі сучаснай дыферэнцыяльнай геаметрыі: геаметрыя аднародных прастор, у якіх дзейнічае некаторая сукупнасць (група) пераўтварэнняў (у класічнай дыферэнцыяльнай геаметрыі — група рухаў) і вывучаюцца ўласцівасці геаметрычных вобразаў, якія не мяняюцца пры пэўных пераўтварэннях; геаметрыя абагульненых прастор, якія будуюцца на аснове дыферэнцавальнай мнагастайнасці, што ўключае як асобны выпадак паняцці крывой і паверхні класічнай дыферэнцыяльнай геаметрыі.

Асобнае месца займае «геаметрыя ў цэлым», якая даследуе геаметрычныя вобразы, якія не могуць быць вырашаны сродкамі дыферэнцыяльнага злічэння.

На Беларусі сістэматычныя даследаванні па сучаснай дыферэнцыяльнай геаметрыі пачалі праводзіцца з канца 1960-х гадоў. Пабудавана глабальная тэорыя нармалізаваных і спалучаных звязнасцей у галоўных расслаеннях, праведзена даследаванне сіметрычных прастор і рада іх абагульненняў (В. І. Вядзернікаў, А. С. Фядэнка).

Літаратура

• Дыференцыяльная геаметрыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 6: Дадаізм — Застава / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1998. — Т. 6. — С. 300. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0106-0 (т. 6).
• Погорелов А. Б.  Дифференциальная геометрия. 5 изд. — М., 1969.
• Дифференциальная геометрия. — Мн., 1982.
• Феденко А. С.  Пространства с симметриями. — Мн., 1977.
• История отечественной математики. Т. 3. — Киев, 1968.