Сярэдняе геаметрычнае

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Сярэдняе геаметрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іх здабытак не змяніўся:

G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}.

Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыянальным[1].

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Гэтак жа, як і любое іншае сярэдняе значэнне, сярэдняе геаметрычнае ляжыць паміж найменшым і найбольшым з усіх лікаў:
\min(x_1, x_2, \dots, x_n)\le G(x_1, x_2, \dots, x_n)\le \max(x_1, x_2, \dots, x_n).
a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \quad a_0=x

і

b_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}}, \quad b_0=y,

дзе b_{n+1} раўняецца сярэдняму гарманічнаму папярэдніх значэнняў дзвюх паслядоўнасцей. Абедзве паслядоўнасці (a_n) і (b_n) збягаюцца да сярэдняга геаметрычнага лікаў x і y.

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае[правіць | правіць зыходнік]

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў x_1, \ldots, x_n з рэчаіснымі вагамі w_1, \ldots, w_n вызначаецца як

 \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя паміж сабою, сярэдняе геаметрычнае ўзважанае супадае з сярэднім геаметрычным.

У геаметрыі[правіць | правіць зыходнік]

BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка, апушчаная на гіпатэнузу, ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і яго праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геаметрычны спосаб пабудовы сярэдняга геаметрычнага двух (даўжынь) адрэзкаў: трэба пабудаваць акружнасць на суме гэтых двух адрэзкаў як на дыяметры, тады вышыня, пабудаваная з пункта іх злучэння да перасячэння з акружнасцю, дасць шукаемую велічыню.

Сувязь з абагульненымі сярэднімі[правіць | правіць зыходнік]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі