Мнагачлен

Графік кубічнага мнагачлена

Мнагачле́н, або мнагаскла́д, паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў, г.зн. складнікаў выгляду

$a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{n}^{k_{n}},$

дзе $a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}$ — пэўны лік (каэфіцыент), x₁, x₂, ... ,x_n — зменныя, k₁, k₂, ... ,k_n — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені n ад адной зменнай x мае выгляд:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},$

дзе a₀, a₁, ... ,a_n — сталыя (пастаянныя) лікі, якія называюцца каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень). Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, x² − x/4 + 7 − мнагачлен, а x² − 4/x + 7x^3/2 − не, таму што ягоны другі складнік (4/x) утрымлівае дзяленне на зменную x, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (лац.: polynomial); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова «паліном» (лац.: polynomial) было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет .

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

Віды

Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду

$c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0},$

дзе $c_{i}$ − сталыя каэфіцыенты, а $x$ − зменная.

Прыклад: $x^{10}+15x^{7}-11x^{5}+1.$

Мнагачлен ад k зменных − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

$c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\ldots x_{k}^{i_{k}},$

дзе $c_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}$ − сталыя каэфіцыенты, $x_{1},x_{2},\ldots x_{k}$ − зменныя, $i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}$ − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад: $17+12x-y-x^{2}+16xy+5y^{7}$ − мнагачлен ад двух зменных.

Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік $c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\ldots x_{k}^{i_{k}}.$

Характарыстыкі

Ступенню адначлена $t=c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\ldots x_{k}^{i_{k}}$, дзе $c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}\neq 0$, называецца велічыня $\deg(t)=i_{1}+i_{2}+\ldots +i_{k}$.

У выпадку $c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}=0$ (г.зн. t = 0) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бесканечнасці: $\deg(0)=-\infty .$

Прыклад: $\deg(25x^{3}y^{11}z)=15.$

Ступенню мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.

Прыклад: $\deg(x^{10}+15x^{7}-11x^{5}+1)=10.$

Простыя ўласцівасці

• Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
• Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
• Вытворная мнагачлена a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ роўная мнагачлену na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + ... + 2a₂x + a₁.

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:

$((\cdots ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.$

Прыклады графікаў

Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.

• Графік нулявога мнагачлена

f(x) = 0

вось x.

• Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)

f(x) = a₀, дзе a₀ ≠ 0,

лінія, паралельная восі x, якая перасякае вось y у пункце (0,a₀).

• Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)

f(x) = a₀ + a₁x , дзе a₁ ≠ 0,

нахіленая прамая, што перасякае вось y у пункце (0,a₀) і мае вуглавы каэфіцыент a₁.

• Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратнага трохчлена)

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², дзе a₂ ≠ 0

парабала.

• Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³, дзе a₃ ≠ 0

кубічная крывая.

• Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ , дзе a_n ≠ 0 і n ≥ 2

з'яўляюцца непарыўнымі нелінейнымі крывымі.

• 
  Квадратны мнагачлен:
  f(x) = x² - x - 2
• 
  Кубічны мнагачлен:
  f(x) = x³/4 + 3x²/4 - 3x/2 - 2
• 
  Мнагачлен 4-й ступені:
  f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) +
  + 0.5
• 
  Мнагачлен 5-й ступені:
  f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) +
  + 2
• 
  мнагачлен 6-й ступені:
  f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1) ×
  × (x-3)(x-4) + 2
• 
  Мнагачлен 7-й ступені:
  f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

Гл. таксама

• Дыскрымінант

Літаратура

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.