Лікавыя метады

Лікавы аналіз, ці лікавыя метады (вылічальная матэматыка ў вузкім сэнсе) — раздзел матэматыкі, у якім распрацоўваюцца і даследуюцца метады лікавага рашэння матэматычных задач. Метады вылічальнай матэматыкі прыбліжаныя, падзяляюцца на аналітычныя (даюць прыбліжаныя рашэнні ў выглядзе аналітычнага выразу) і лікавыя (у выглядзе табліцы лікаў).

Гісторыя

Узнікненне вылічальнай матэматыкі звязана з неабходнасцю рашэння асобных задач (вымярэнне адлегласцей, плошчаў, аб’ёмаў і інш.). Развіццё навукі, асабліва астраноміі і механікі, спрыяла развіццю матэматыкі ўвогуле і вылічальнай матэматыкі ў прыватнасці. Складаліся табліцы эмпірычна знойдзеных залежнасцей, што прывяло да узнікнення паняцця функцыі і задачы інтэрпалявання (гл. інтэрпаляцыя). Поспехі вылічальнай матэматыкі звязаны з імёнамі І. Ньютана, Л. Эйлера, М. І. Лабачэўскага, К. Ф. Гауса, П. Л. Чабышова, С. А. Чаплыгіна, А. М. Крылова, А. М. Ціханава, А. А. Самарскага, У. І. Крылова, Л. В. Кантаровіча і інш.

З’яўленне вылічальных машын значна расшырыла кола задач і стымулявала далейшую распрацоўку метадаў вылічальнай матэматыкі з улікам магчымасцей вылічальных машын, у прыватнасці распрацоўкі спецыяльных алгарытмаў, арыентаваных на паралельную рэалізацыю.

На Беларусі даследаванні па ўсіх асноўных кірунках вылічальнай матэматыкі і падрыхтоўкі навуковых кадраў пачаліся з 1950-х гг. у АН БССР і БДУ пад кіраўніцтвам акадэміка У. І. Крылова; асобныя пытанні вылічальнай матэматыкі распрацоўваліся і раней.

Асноўныя вобласці

Многія задачы вылічальнай матэматыкі можна запісаць у выглядзе y=Ах, дзе х і у належаць зададзеным мноствам X і Y, А — некаторы аператар. Для рашэння задачы трэба знайсці у па зададзеным х ці наадварот. У вылічальнай матэматыцы гэта задача рашаецца заменай мностваў X, Y і аператара А (ці толькі некаторых з іх) іншымі, зручнымі для вылічэнняў. Замена робіцца так, каб рашэнне новай задачы у=Вх было ў нейкім сэнсе блізкім да рашэння першапачатковай задачы.

Напрыклад, калі ў якасці Ах узяць інтэграл

$\int _{a}^{b}x(t)\,dt,$

то прыбліжанае значэнне яго ў многіх выпадках можна вылічыць па т.зв. квадратурнай формуле

$\int _{a}^{b}x(t)\,dt\approx \sum _{k=1}^{n}A_{k}x(t_{k}),$

дзе А_k і t_k — некаторыя фіксаваныя лікі. Гэта адна з класічных задач вылічальнай матэматыкі. Пры рашэнні яе, асабліва ў выпадку кратнага (шматразовага) і кантынуальнага інтэгравання, карыстаюцца метадам Монтэ-Карла.

Прынцыповае значэнне ў вылічальнай матэматыцы належыць тэорыі прыбліжэння функцый, якая адыгрывае і агульнаматэматычную ролю. Адна з характэрных задач прыбліжэння функцый — задача інтэрпалявання, г.зн. пабудова для зададзенай функцыі f(t) прыбліжанай функцыі f_n(t), якая супадае з f(t) у фіксаваных вузлах t₁, t₂, ..., t_n. У тэорыі прыбліжэння функцый рэчаіснай (а пазней і камплекснай) пераменнай распрацоўваліся метады прыбліжэння функцый аднаго класа функцыямі іншых класаў, а таксама вывучаліся пытанні збежнасці і ацэнак прыбліжэнняў.

Найбольш пашыраныя задачы вылічальнай матэматыкі — задачы алгебры:

• рашэнне сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў,
• вылічэнне вызначнікаў (дэтэрмінантаў) і адваротных матрыц,
• знаходжанне ўласных вектараў і ўласных значэнняў матрыц,
• вызначэнне каранёў мнагачленаў.

У задачы прыбліжанага рашэння сістэмы лінейных ураўненняў Аx=b, дзе А — квадратная матрыца, x і b — вектары-слупкі, часта выкарыстоўваюцца ітэрацыйныя метады. Многія ітэрацыйныя метады рашэння гэтай сістэмы маюць выгляд

$x^{k}=x^{k-1}+B_{k}(b-Ax^{k-1}),$

дзе B_k (k=1, 2, ...) — некаторая паслядоўнасць матрыц, х⁰ — пачатковае прыбліжэнне, часам адвольнае. Розны выбар матрыц B_k дае розныя ітэрацыйныя працэсы.

Значную частку вылічальнай матэматыкі складаюць прыбліжаныя і лікавыя метады рашэння звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў, дыферэнцыяльных ураўненняў у частковых вытворных, інтэгральных ураўненняў, інтэгра-дыферэнцыяльных ураўненняў, вылічальныя метады варыяцыйнага злічэння, аптымальнага кіравання, задач стахастычнага аналізу і інш.

Гл. таксама

• Вылічальная матэматыка

Літаратура

• Вылічальная матэматыка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 4: Варанецкі — Гальфстрым / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1997. — Т. 4. С. 311—312.
• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. 3 изд. М., 1966; Т. 2. 2 изд. М., 1962.
• Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. 5 изд. М.; Л., 1962.
• Крылов В. И. Приближенное вычисление ннтегралов. 2 изд. М., 1967.
• Крылов В. И., Скобля Н. С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Мн., 1968.
• Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. Мн., 1968.
• Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2 изд. М.; Л., 1963.
• Янович Л. А. Приближенное вычисление континуальных ннтегралов по гауссовым мерам. Мн., 1976.
• Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd edition ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-028761-9. {{cite book}}: |edition= мае залішні тэкст (даведка)
• Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0.
• Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis" (PDF). In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (рэд-ры). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. pp. 604–615. ISBN 9780691118802. {{cite book}}: Невядомы параметр |chapterurl= ігнараваны (прапануецца |chapter-url=) (даведка)

Спасылкі

• Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001). "Numerical analysis". Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Numerical Recipes, William H. Press (старыя выданні для свабоднай загрузкі)
• First Steps in Numerical Analysis (інтэрнэт-архіў), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
• CSEP (Computational Science Education Project), U.S. Department of Energy