З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
У гэтым артыкуле прыведзены асноўныя тэрміны, якія выкарыстоўваюцца ў тэорыі груп . Курсіў пазначае ўнутраную спасылку на дадзены гласарый. У канцы прыводзіцца табліца асноўных абазначэнняў, што прымяняюцца ў тэорыі груп.
p
{\displaystyle p}
-група
Група, усе элементы ў якой маюць парадак, роўны некаторай ступені простага ліку
p
{\displaystyle p}
(не абавязкова аднолькавай ва ўсіх элементаў). Такія групы таксама называюцца прымарнамі групамі (глядзіце канечная
p
{\displaystyle p}
-група ).
Абелева група
Такое ж самае, што і камутатыўная група .
Абелеанізацыя
Фактаргрупа па камутанту , гэта значыць, для групы
G
{\displaystyle G}
―
G
/
[
G
,
G
]
{\displaystyle G/[G,G]}
.
Абсалютна рэгулярная
p
{\displaystyle p}
-група
Канечная
p
{\displaystyle p}
-група, ў якой
|
G
:
p
G
|
<
p
p
{\displaystyle |G\,:\,pG|<p^{p}}
, дзе
p
G
{\displaystyle pG}
— падгрупа
G
{\displaystyle G}
, утвораная
p
{\displaystyle p}
-мі ступенямі яе элементаў.
Адытыўная група кольцы
Група, элементамі якой з'яўляюцца ўсе элементы дадзенага кольцы, а аперацыя супадае з аперацыяй дадавання ў кольцы.
Амаль-
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
-група
Для тэарэтыка-групавой уласцівасці
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
— група, якая валодае падгрупай канечнага індексу , які валодае ўласцівасцю
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
; так кажуць пра амаль нільпатэнтныя , амаль вырашальныя , амаль поліцыклічныя групы.
Антыгомамарфізм груп
Адлюстраванне груп
f
:
(
G
,
∗
)
→
(
H
,
×
)
{\displaystyle f:(G,*)\to (H,\times )}
такое, што
f
(
a
∗
b
)
=
f
(
b
)
×
f
(
a
)
{\displaystyle f(a*b)=f(b)\times f(a)}
для адвольных
a
{\displaystyle a}
і
b
{\displaystyle b}
у
G
{\displaystyle G}
(параўнайце з гомамарфізмам ).
Арбіта
Для элемента
m
{\displaystyle m}
мноства
M
{\displaystyle M}
, на які група
G
{\displaystyle G}
дзейнічае злева — мноства ўсіх дзеянняў над элементам:
G
m
=
{
g
m
∣
g
∈
G
}
{\displaystyle Gm=\{gm\mid g\in G\}}
.
Вырашальная група
Група, якая валодае нармальным радам падгруп з абелевымі фактарамі . Найменшая з даўжынь такіх радоў называецца яе ступенню вырашальнасці .
Вырашальны радыкал
Падгрупа, спароджаная ўсіма вырашальнымі нармальнымі падгрупамі , абазначаецца
S
(
G
)
{\displaystyle S(G)}
.
Галаморф
Для зададзенай групы
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
— група над парамі
{
(
g
,
φ
)
∣
g
∈
G
,
φ
∈
A
u
t
G
}
{\displaystyle \{(g,\varphi )\mid g\in G,\varphi \in \mathrm {Aut} G\}}
(
A
u
t
G
{\displaystyle \mathrm {Aut} G}
— група аўтамарфізмаў групы
G
{\displaystyle G}
) з групавой аперацыяй кампазіцыі
⊙
{\displaystyle \odot }
, вызначанай як
(
g
1
,
φ
1
)
⊙
(
g
2
,
φ
2
)
=
(
g
1
∗
φ
1
−
1
(
g
2
)
,
φ
1
∘
φ
2
)
{\displaystyle (g_{1},\varphi _{1})\odot (g_{2},\varphi _{2})=(g_{1}*\varphi _{1}^{-1}(g_{2}),\varphi _{1}\circ \varphi _{2})}
.
Галоўны рад падгруп
Рад падгруп , у якім
G
i
{\displaystyle G_{i}}
— максімальная нармальная ў
G
{\displaystyle G}
падгрупа з
G
i
+
1
{\displaystyle G_{i+1}}
, для ўсіх членаў рада.
Генетычны код групы
То жа самае, што і заданне групы .
Гомамарфізм груп
Адлюстраванне груп
f
:
(
G
,
∗
)
→
(
H
,
×
)
{\displaystyle f:(G,*)\to (H,\times )}
такое, што
f
(
a
∗
b
)
=
f
(
a
)
×
f
(
b
)
{\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}
для адвольных a і b у G .
Група
Непарожняе мноства
G
{\displaystyle G}
са зададзенай на ім асацыятыўнай бінарнай аперацыяй
∗
:
G
×
G
→
G
{\displaystyle *:G\times G\to G}
, пры якой у
G
{\displaystyle G}
маецца нейтральны элемент
e
{\displaystyle e}
, г. зн. для ўсіх
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
выконваецца
e
∗
a
=
a
∗
e
=
a
{\displaystyle e*a=a*e=a}
, і для кожнага элемента
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
ёсць адваротны элемент
a
−
1
{\displaystyle a^{-1}}
, такі, што
a
∗
a
−
1
=
a
−
1
∗
a
=
e
{\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}
.
Група Шміта
Ненільпатэнтная група, усе ўласныя падгрупы якой нільпатэнтны.
Група Мілера — Марэна
Неабелева група, усе ўласныя падгрупы якой абелевы.
Групавая алгебра
Для групы
G
{\displaystyle G}
над полем
K
{\displaystyle K}
— гэта вектарная прастора над
K
{\displaystyle K}
, утваральнымі якой з'яўляюцца элементы
G
{\displaystyle G}
, а множанне ўтваральных адпавядае множанню элементаў
G
{\displaystyle G}
.
Даўжыня раду падгруп
Лік
n
{\displaystyle n}
у азначэнні раду падгруп .
Дзеянне групы
Група
G
{\displaystyle G}
дзейнічае злева на мностве
M
{\displaystyle M}
, калі зададзены гомамарфізм
Φ
:
G
→
S
(
M
)
{\displaystyle \Phi \colon G\to S(M)}
, дзе
S
(
M
)
{\displaystyle S(M)}
— сіметрычная група . Група
G
{\displaystyle G}
дзейнічае справа на мностве
M
{\displaystyle M}
, калі зададзены гомамарфізм
ρ
:
G
o
p
→
S
(
M
)
{\displaystyle \rho :G^{op}\to S(M)}
, дзе
G
o
p
{\displaystyle G^{op}}
— інверсная група групы
G
{\displaystyle G}
.
Заданне групы
Азначэнне групы ўказаннем спараджальнага мноства
S
{\displaystyle S}
і мноства суадносін паміж спараджальнымі
R
{\displaystyle R}
, абазначаецца
⟨
S
∣
R
⟩
{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }
. Таксама называецца генетычны код групы , прадстаўленне групы (ствараючы неадназначнасць з лінейным прадстаўленнем групы ), копрадстаўленне групы .
Звышвырашальная група (англ. )
Група, якая валодае нармальным радам падгруп з цыклічнымі фактарамі .
Ізамарфізм груп
Біектыўны гомамарфізм .
Ізаморфныя групы
Групы, паміж якімі існуе хаця б адзін ізамарфізм .
Інварыянтная падгрупа
То жа самае, што і нармальная падгрупа .
Інверсная група
Група, якая атрымліваецца пераменай месцамі аргументаў бінарнай аперацыі, г. зн. для
G
{\displaystyle G}
з аперацыяй
×
{\displaystyle \times }
— група
G
o
p
{\displaystyle G^{op}}
з аперацыяй
∗
{\displaystyle *}
такой, што
a
∗
b
=
b
×
a
{\displaystyle a*b=b\times a}
для ўсіх элементаў
G
{\displaystyle G}
.
Індэкс падгрупы
Лік сумежных класаў у кожным (правым або левым) з раскладаў групы па дадзенай падгрупе.
Індэксы раду падгруп
Індэксы
|
G
i
+
1
:
G
i
|
{\displaystyle |G_{i+1}:G_{i}|}
у азначэнні субнармальнага раду падгруп .
Кампазіцыйны рад
Для групы
G
{\displaystyle G}
— рад падгруп , у якім усе фактаргрупы
G
i
+
1
/
G
i
{\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}
— простыя групы .
Камутант
Падгрупа , спароджаная ўсімі камутатарамі групы, звычайна абазначаецца
[
G
,
G
]
{\displaystyle [G,G]}
або
G
′
{\displaystyle G'}
.
Камутатыўная група
Група з камутатыўнай бінарнай аперацыяй (
∀
g
,
h
∈
G
(
g
∗
h
=
h
∗
g
)
{\displaystyle \forall g,h\in G(g*h=h*g)}
); таксама называецца абелевай групай .
Камутатар
Для элементаў
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
— элемент
[
g
,
h
]
=
g
h
g
−
1
h
−
1
{\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}
.
Камутатар падгруп
Мноства ўсіх магчымых здабыткаў
{
[
g
,
h
]
∣
g
∈
G
,
h
∈
H
}
{\displaystyle \{[g,h]\mid g\in G,h\in H\}}
.
Камутуючыя элементы
Элементы, для якіх камутатар роўны адзінкаваму элементу групы, або, што эквівалентна, такія элементы
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
, для якіх
g
∗
h
=
h
∗
g
{\displaystyle g*h=h*g}
.
Канечная група
Група з канечным лікам элементаў.
Канечная
p
{\displaystyle p}
-група
p
{\displaystyle p}
-група канечнага парадку
p
n
{\displaystyle p^{n}}
.
Канечна зададзеная група
Група, якая валодае канечным лікам утваральных і якая задаецца ў гэтых утваральных канечным лікам суадносін ; таксама называецца канечна вызначаная група .
Канечнаспараджальная абелева група
Абелева група , якая мае канечную сістэму утваральных .
Канечнаспараджальная група
Група, якая мае канечную сістэму утваральных .
Клас нільпатэнтнасці
Для нільпатэнтнай групы — мінімальная з даўжынь цэнтральнага раду падгруп .
Клас спалучанасці
Для элемента
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
— мноства
{
h
g
h
−
1
|
h
∈
G
}
{\displaystyle \{hgh^{-1}|h\in G\}}
.
Клас сумежнасці
Для элемента
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
, левы сумежны клас па падгрупе
H
{\displaystyle H}
— мноства
g
H
=
{
g
h
|
h
∈
H
}
{\displaystyle gH=\{gh|h\in H\}}
, правы сумежны клас па падгрупе
H
{\displaystyle H}
— мноства
H
g
=
{
h
g
|
h
∈
H
}
{\displaystyle Hg=\{hg|h\in H\}}
.
Копрадстаўленне групы
То жа самае, што заданне групы .
Кручэнне
Падгрупа ўсіх элементаў канечнага парадку , прымяняецца для камутатыўных і нільпатэнтных груп, абазначаецца
Tor
G
{\displaystyle \operatorname {Tor} G}
.
Лакальная тэарэма
Для некаторай уласцівасці
P
{\displaystyle P}
груп справядлівая некаторая лакальная тэарэма, калі ўсякая група, якая лакальна валодае гэтай уласцівасцю , сама валодае ёю. Напрыклад: лакальна абелева група з'яўляецца абелевай, але лакальна канечная група можа быць бясконцай.
Лакальная ўласцівасць
Группа
G
{\displaystyle G}
валодае нейкай лакальнай уласцівасцю
P
{\displaystyle P}
, калі любая канечнаспараджальная падгрупа з
G
{\displaystyle G}
валодае гэтай уласцівасцю. Прыкладамі могуць служыць лакальная канечнасць, лакальная нільпатэнтнасць.
Максімальная падгрупа
Такая падгрупа , што не існуе іншых падгруп, якія яе змяшчаюць (і не супадаюць з самой групай).
Метабелева група
Група, камутант якой абелевы , ступень адрознення такой групы роўная 2.
Метанільпатэнтная група
Полінільпатэнтная група са ступенню адрознення роўнай 2.
Метацыклічная група
Група, якая валодае цыклічнай нармальнай падгрупай , фактаргрупа па якой таксама цыклічная. Усякая канечная група, парадак якой свабодны ад квадратаў (г. зн. не дзеліцца на квадрат якога-небудзь ліку), з'яўляецца метацыклічнай.
Мінімальная нармальная падгрупа
Найменшая (па ўключэнні) неадзінкавая (г. зн., якая складаецца не толькі з адзінкавага элемента) нармальная падгрупа .
Нармалізатар
Для падгрупы
H
{\displaystyle H}
у
G
{\displaystyle G}
— гэта максімальная падгрупа
G
{\displaystyle G}
, у якой
H
{\displaystyle H}
нармальная . Іначай кажучы, нармалізатар ёсць стабілізатар
H
{\displaystyle H}
пры дзеянні
G
{\displaystyle G}
на мностве сваіх падгруп спалучэннямі , г. зн.
N
(
H
)
=
{
g
∈
G
∣
g
H
g
−
1
=
H
}
{\displaystyle N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}}
.
Нармальны дзельнік
То жа самае, што і нармальная падгрупа .
Нармальная падгрупа
H
{\displaystyle H}
ёсць нармальная падгрупа
G
{\displaystyle G}
, калі для любога элемента
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
выканана
g
H
=
H
g
{\displaystyle gH=Hg}
, г. зн. правыя і левыя класы сумежнасці
H
{\displaystyle H}
у
G
{\displaystyle G}
супадаюць. Іначай кажучы, калі
∀
g
∈
G
∀
h
∈
H
g
h
g
−
1
∈
H
{\displaystyle \forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H}
. Таксама называецца інварыянтная падгрупа , нармальны дзельнік .
Нармальны рад падгруп
Рад падгруп , у якім
G
i
{\displaystyle G_{i}}
нармальная ў
G
{\displaystyle G}
, для ўсіх членаў раду.
Натуральны гомамарфізм
Гомамарфізм групы
G
{\displaystyle G}
на фактаргрупу
G
/
H
{\displaystyle G/H}
па нармальнай падгрупе
H
{\displaystyle H}
, які ставіць у адпаведнасць кожнаму элементу
a
{\displaystyle a}
групы сумежны клас
a
H
{\displaystyle aH}
. Ядром гэтага гомамарфізму з'яўляецца падгрупа
H
{\displaystyle H}
.
Нейтральны элемент
Элемент, які задаецца ў азначэнні групы , любое прымяненне якога пры бінарнай аперацыі пакідае іншы аргумент без змен.
Нільпатэнтная група
Група, якая валодае цэнтральным радам падгруп . Мінімальная з даўжынь такіх радоў называецца яе класам нільпатэнтнасці .
Норма групы
Сукупнасць элементаў групы, перестановачных з усімі падгрупамі , г. зн. перасячэнне нармалізатараў усіх яе падгруп.
Падгрупа
Падмноства
H
{\displaystyle H}
групы
G
{\displaystyle G}
, якое з'яўляецца групай адносна аперацыі, вызначанай у
G
{\displaystyle G}
.
Падгрупа кручэння
То жа самае, што і кручэнне .
Падгрупа, спароджаная мноствам
Для адвольнага падмноства
S
⊂
G
{\displaystyle S\subset G}
,
⟨
S
⟩
{\displaystyle \langle S\rangle }
абазначае найменшую падгрупу
G
{\displaystyle G}
, якая змяшчае
S
{\displaystyle S}
.
Падгрупа Томпсана (англ. )
Падгрупа, спароджаная ўсіма абелевымі падгрупамі ; абазначаецца
J
(
G
)
{\displaystyle J(G)}
.
Падгрупа Фіцінга (англ. )
Падгрупа, спароджаная ўсіма нільпатэнтнымі нармальнымі падгрупамі ; абазначаецца
F
(
G
)
{\displaystyle F(G)}
.
<dt class="glossary" id="Падгрупа Фраціні (англ. ) " >Падгрупа Фраціні (англ. )
Перасячэнне ўсіх максімальных падгруп , калі такія існуюць, альбо сама група
G
{\displaystyle G}
у адваротным выпадку; абазначаецца
Φ
(
G
)
{\displaystyle \Phi (G)}
.
Парадак групы
То жа самае, што і магутнасць мноства групы (для канечных груп — колькасць элементаў групы).
Парадак элемента
Для элемента
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
— мінімальны натуральны лік
m
{\displaystyle m}
такі, што
g
m
=
e
{\displaystyle g^{m}=e}
. У выпадку, калі такога
m
{\displaystyle m}
не існуе, лічыцца, што
g
{\displaystyle g}
мае бясконцы парадак.
Паўпрамы здабытак
Для груп
G
{\displaystyle G}
і
H
{\displaystyle H}
над гомамарфізмам
ϕ
:
G
→
Aut
(
H
)
{\displaystyle \phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)}
(абазначаецца па-рознаму, ў тым ліку
G
⋊
ϕ
H
{\displaystyle G\rtimes _{\phi }H}
) — мноства
G
×
H
{\displaystyle G\times H}
, што мае аперацыю
∗
{\displaystyle *}
, для якой
(
g
1
,
h
1
)
∗
(
g
2
,
h
2
)
=
(
g
1
ϕ
(
h
1
)
(
g
2
)
,
h
1
h
2
)
{\displaystyle (g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})}
для любых
g
1
,
g
2
∈
G
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}
,
h
1
,
h
2
∈
H
{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}
.
Перастановачныя элементы
Пара элементаў
a
,
b
∈
G
{\displaystyle a,b\in G}
такіх, што
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
.
Перыяд групы
Найменшае агульнае кратнае парадкаў элементаў дадзенай групы.
Перыядычная група
Група, кожны элемент якой мае канечны парадак .
Полінільпатэнтная група
Група, якая валодае канечным нармальны радам , фактары якога нільпатэнтныя .
Прадстаўленне групы
1. Лінейнае прадстаўленне групы , гомамарфізм зададзенай групы ў групу нявыраджаных лінейных пераўтварэнняў вектарнай прасторы .
2. То жа самае, што і заданне групы .
Прамы здабытак
Для груп
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle (G,\cdot )}
и
(
H
,
∗
)
{\displaystyle (H,*)}
— мноства пар
G
×
H
{\displaystyle G\times H}
, якое мае аперацыю пакампанентнага множання:
(
g
1
,
h
1
)
×
(
g
2
,
h
2
)
=
(
g
1
⋅
g
2
,
h
1
∗
h
2
)
{\displaystyle (g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}*h_{2})}
.
Простая група
Група, у якой няма нармальных падгруп, акрамя трывіальнай (той, якая складаецца толькі з адзінкавага элемента) і ўсей групы.
Прымарная група
Група, усе элементы ў якой маюць парадак, роўны некаторай ступені простага ліку
p
{\displaystyle p}
(не абявязкова аднолькавай у ўсіх элементаў). Таксама кажуць пра канечную
p
{\displaystyle p}
-групу .
Расшырэнне групы
Група, якая змяшчае дадзеную групу ў якасці нармальнай падгрупы .
Рад падгруп
Канечная паслядоўнасць падгруп
G
0
,
G
1
,
.
.
.
,
G
n
{\displaystyle G_{0},G_{1},...,G_{n}}
такая, што
G
i
≤
G
i
+
1
{\displaystyle G_{i}\leq G_{i+1}}
, для ўсіх
i
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
−
1
}
,
G
0
=
1
,
G
n
=
G
{\displaystyle i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G}
. Такі рад запісваюць у выглядзе
1
=
G
0
≤
G
1
≤
⋯
≤
G
n
=
G
{\displaystyle 1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G}
або ў выглядзе
G
=
G
n
≥
G
n
−
1
≥
⋯
≥
G
0
=
1
{\displaystyle G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1}
.
Рэгулярная
p
{\displaystyle p}
-група
Канечная
p
{\displaystyle p}
-група , для любой пары элементаў
a
{\displaystyle a}
і
b
{\displaystyle b}
якой знойдзецца элемент
u
{\displaystyle u}
камутанта падгрупы, спароджанай гэтымі элементамі, такі, што
(
a
b
)
p
=
a
p
b
p
u
p
{\displaystyle (ab)^{p}=a^{p}b^{p}u^{p}}
.
Свабодная група
Група, зададзеная некаторым мноствам і пры гэтым не мае ніякіх суадносін, акрамя суадносін, якія вызначаюць групу. Усе свабодныя групы, спараджальныя роўнамагутнымі мноствамі , ізаморфныя .
Свабодны здабытак
Група, зададзеная элементамі дадзеных груп без дадатковых суадносін паміж элементамі, акрамя суадносін, якія вызначаюць кожную з дадзеных груп.
Сілаўская падгрупа
p
{\displaystyle p}
-падгрупа ў
G
{\displaystyle G}
, якая мае парадак
p
n
{\displaystyle p^{n}}
, дзе
|
G
|
=
p
n
s
{\displaystyle |G|=p^{n}s}
і найбольшы агульны дзельнік лікаў
p
{\displaystyle p}
і
s
{\displaystyle s}
роўны 1.
Сіметрычная група
Група ўсіх біекцый зададзенага канечнага мноства (г. зн., усіх перастановак ) адносна аперацыі кампазіцыі .
Спараджальнае мноства групы
Такое падмноства групы, што кожны элемент групы можа быць запісаны як здабытак канечнага ліку элементаў мноства і іх адваротных.
Стабілізатар
Для элемента
p
{\displaystyle p}
мноства
M
{\displaystyle M}
, на якому дзейнічае група
G
{\displaystyle G}
— падгрупа
S
t
G
(
p
)
⊂
G
{\displaystyle \mathrm {St} _{G}(p)\subset G}
, усе элементы якой пакідаюць
p
{\displaystyle p}
на месце:
g
⋅
p
=
p
{\displaystyle g\cdot p=p}
.
Ступень вырашальнасці
Найменшая з даўжынь нармальных радоў падгруп з абелевымі фактарамі для дадзенай групы.
Суадносіны
Тоеснасць, якой задавальняюць утваральныя групы (пры заданні групы ўтваральнымі і суадносінамі).
Субнармальны рад падгруп
Рад падгруп , у якому падгрупа
G
i
{\displaystyle G_{i}}
нармальная ў падгрупе
G
i
+
1
{\displaystyle G_{i+1}}
, для ўсіх членаў раду.
Фактаргрупа
Для групы
G
{\displaystyle G}
і яе нармальнай падгрупы
H
{\displaystyle H}
— мноства класаў сумежнасці падгрупы
H
{\displaystyle H}
з множаннем, якое вызначаецца наступным чынам:
(
a
H
)
∗
(
b
H
)
=
(
a
b
)
H
{\displaystyle (aH)*(bH)=(ab)H}
.
Фактары субнармальнага раду
Фактаргрупы
G
i
+
1
/
G
i
{\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}
у азначэнні субнармальнага раду падгруп .
Характарыстычная падгрупа
Падгрупа , інварыянтная адносна ўсіх аўтамарфізмаў групы.
Холава падгрупа
Падгрупа , парадак якой узаемна просты з яе індэксам ва ўсей групе.
Цыклічная група
Група, якая складаецца з спараджальнага элемента і ўсіх яго целых ступеняў. Канечная ў выпадку, калі парадак спараджальнага элемента канечны.
Цэнтр групы
Максімальная група элементаў, камутуючых з кожным элементам групы:
Z
G
(
G
)
=
{
g
∈
G
∣
∀
h
∈
G
(
g
h
=
h
g
)
}
{\displaystyle \mathrm {Z} _{G}(G)=\{g\in G\mid \forall {h\in G}\,(gh=hg)\}}
. Своеасаблівая «мера абелевасці»: група абелева тады і толькі тады, калі яе цэнтр супадае са ўсей групай.
Цэнтралізатар
Максімальная падгрупа, кожны элемент якой камутуе з зададзеным элементам:
Z
G
(
h
)
=
{
g
∈
G
∣
g
h
=
h
g
}
{\displaystyle \mathrm {Z} _{G}(h)=\{g\in G\mid gh=hg\}}
.
Цэнтральны рад падгруп
нармальны рад падгруп , у якім
G
i
+
1
/
G
i
⊆
Z
(
G
/
G
i
)
{\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})}
, для ўсіх членаў раду.
Экспанента
Лікавая характарыстыка канечнай групы , роўная найменшаму агульнаму кратнаму парадкаў усіх элементаў групы, абазначаецца
exp
(
G
)
{\displaystyle \exp(G)}
.
Элементарная група
Група, якая з'яўляецца канечнай або абелевай , альбо атрымліваецца з канечных і абелевых груп паслядоўнасцю аперацый узяцця падгруп , эпіморфных вобразаў, прамых межаў і расшырэнняў .
Эпімарфізм груп
Эпімарфізмам называецца гомамарфізм
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
, калі адлюстраванне f сюр'ектыўнае .
Ядро гомамарфізму
Правобраз нейтральнага элемента пры гомамарфізме . Ядро заўсёды ёсць нармальная падгрупа , а любая нармальная падгрупа ёсць ядро некаторага гомамарфізма.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М .: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-88688-060-7 .
Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А.; Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Группы // Общая алгебра / Скорняков Л. А.. — М .: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .