Моманты выпадковай велічыні

Момант выпадковай велічыні́ — лікавая характарыстыка размеркавання дадзенай выпадковай велічыні. Гэты тэрмін выкарыстоўваецца як ў механіцы, так і ў статыстыцы, і колькасна характарызуе форму мноства кропак.

• У статыстыцы, калі кропкі ўяўляюць сабой шчыльнасць імавернасці, то:

нулявы момант (момант нулявога парадку) — гэта агульная імавернасць (або адзінка),

першасны момант (момант першага парадку) — гэта сярэдняе арыфметычнае,

другасны момант (момант другога парадку) — гэта дысперсія выпадковай велічыні,

троесны момант (момант трэцяга парадку) — гэта каэфіцыент асіметрыі.

• У механіцы, калі кропкі адлюстроўваюць масу, то:

нулявы момант з'яўляецца агульнай масай,

першасны момант падзелены на агульную масу ўяўляе самой цэнтр мас,

другасны момант з'яўляецца момантам інерцыі.

Матэматычная канцэпцыя вельмі блізка суадносіцца з канцэпцыяй моманту ў фізіцы.

Для дадзенага абмежаванага размеркавання (імавернасці або масы) набор ўсіх мамантаў (усіх парадкаў ад 0 да ∞) адназначна вызначае і характарызуе размеркаванне.

Вызначэнні

Калі ёсць выпадковая велічыня $\displaystyle X,$, вызначаная на нейкім імавернаснымі прасторы, то:

• $\displaystyle k$-м пачатковым момантам выпадковай велічыні $\displaystyle X,$ дзе $k\in \mathbb {N} ,$ называецца велічыня

$\nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],$

калі матэматычнае чаканне $\mathbb {E} [*]$ ў правай частцы гэтай роўнасці вызначана;

• $\displaystyle k$-м цэнтра́льным момантам выпадковай велічыні $\displaystyle X$ называецца велічыня

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],$

• $\displaystyle k$-м абсалю́тным і $\displaystyle k$-м цэнтральным абсалютным момантамі выпадковай велічыні $\displaystyle X$ называюцца суадносна велічыні

$\nu _{k}=\mathbb {E} \left[|X|^{k}\right]$ і $\mu _{k}=\mathbb {E} \left[|X-\mathbb {E} X|^{k}\right],$

• $\displaystyle k$-м фактарыяльным момантам выпадковай велічыні $\displaystyle X$ называецца велічыня

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Абсалютныя моманты могуць быць вызначаны не толькі для цэлых $k$, але і для любых неадмоўных рэчаісных лічбаў у выпадку, калі суадносныя інтэгралы сходзяцца.

Заўвагі

• Калі вызначаны моманты $\displaystyle k$-га парадку, то вызначаны і ўсе моманты ніжэйшых парадкаў $1\leqslant k'<k.$
• У сілу лінейнасці матэматычнага чакання цэнтральныя моманты могуць быць выяўленыя праз пачатковыя, і наадварот. напрыклад:

$\displaystyle \mu _{1}=0,$

$\displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},$

$\displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},$

$\displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},$ и т. д.