Размеркаванне Дзірыхле

Размеркаванне Дзірыхле

Шчыльнасць імавернасці
Параметры	$K\geq 2$ колькасць катэгорый (цэлая) ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$ параметры канцэнтрацыі, дзе $\alpha _{i}>0$
Носьбіт функцыі	$x_{1},\ldots ,x_{K}$ дзе $x_{i}\in [0,1]$ і $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$
Шчыльнасць імавернасці	${\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$ дзе $\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\bigl (}\alpha _{0}{\bigr )}}}$ дзе $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}$
Матэматычнае спадзяванне	$\operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}$ $\operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\alpha _{0})$ (дзе $\psi$ — дыгама-функцыя)
Мода	$x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.$
Дысперсія	$\operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {{\tilde {\alpha }}_{i}(1-{\tilde {\alpha }}_{i})}{\alpha _{0}+1}},$ $\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {\delta _{ij}\,{\tilde {\alpha }}_{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\alpha }}_{j}}{\alpha _{0}+1}}$ дзе ${\tilde {\alpha }}_{i}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}$, і $\delta _{ij}$ — дэльта Кронекера
Энтрапія	$H(X)=\log \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})$$+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-$$\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})$ дзе $\alpha _{0}$ вызначаецца як і для дысперсіі, а $\psi$ — дыгама-функцыя
Метад момантаў	$\alpha _{i}=E[X_{i}]\left({\frac {E[X_{j}](1-E[X_{j}])}{V[X_{j}]}}-1\right)$ дзе $j$ некаторы індэкс, у тым ліку можа быць роўны $i$

Размеркаванне Дзірыхле — многавымернае абсалютна непарыўнае размеркаванне, параметрам якога ёсць вектар ${\boldsymbol {\alpha }}$ дадатных рэчаісных лікаў. Як многавымернае абагульненне бэта-размеркавання, мае альтэрнатыўную назву многавымернае бэта-размеркаванне. Размеркаванне Дзірыхле часта выкарыстоўваецца як апрыёрнае ў баесаўскай статыстыцы і выступае ў якасці спалучанага апрыёрнага для катэгарыяльнага і паліномнага размеркаванняў.

Названа ў гонар Іагана Петэра Густава Лежона Дзірыхле. Часта абазначаецца як $\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }}).$

Бясконцавымернае абагульненне размеркавання Дзірыхле — працэс Дзірыхле.

Азначэнне

Размеркаваннем Дзірыхле парадку $K$ з параметрамі $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{K}$ завецца размеркаванне выпадковага вектара з $K-1$ каардынатамі, калі шчыльнасць гэтага размеркавання роўная

$f_{Dir(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}\left(x_{1},\ldots ,x_{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},$

дзе $\{x_{k}\}_{k=1}^{k=K}$ належыць стандартнаму $K-1$ сімплексу, то бок $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$ і $x_{i}\in \left[0,1\right]$ для ўсіх $i\in \{1,\dots ,K\}$

Нарміровачны множнік — многавымерная бэта-функцыя, якую можна запісаць з дапамогай гама-функцый як

$\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).$