Размеркаванне хі-квадрат

Размеркаванне хі-квадрат

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	$\chi ^{2}(k)\;$ або $\chi _{k}^{2}\!$
Параметры	$k\in \mathbb {N} ^{*}~~$ ступені свабоды
Носьбіт функцыі	$x\in (0,+\infty )\;$ калі $k=1$, інакш $x\in [0,+\infty )\;$
Шчыльнасць імавернасці	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
Функцыя размеркавання	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Матэматычнае спадзяванне	$k$
Медыяна	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Мода	$\max(k-2,0)\;$
Дысперсія	$2k\;$
Каэфіцыент асіметрыі	${\sqrt {8/k}}\,$
Каэфіцыент эксцэсу	${\frac {12}{k}}$
Энтрапія	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}$
Утваральная функцыя момантаў	$(1-2t)^{-k/2}$ для $t<{\frac {1}{2}}\;$
Характарыстычная функцыя	$(1-2it)^{-k/2}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	$(1-2\ln t)^{-k/2}$ для $0<t<{\sqrt {e}}\;$

Размеркаванне хі-квадрат (або $\chi ^{2}$-размеркаванне) з $k$ ступенямі свабоды — размеркаванне сумы квадратаў $k$ незалежных выпадковых велічынь са стандартным нармальным размеркаваннем. Размеркаванне хі-квадрат — асобны выпадак гама-размеркавання^:89, і адно з найчасцей выкарыстоўваемых размеркаванняў у статыстычным высноўванні, у прыватнасці пры праверцы гіпотэз і пабудове давяральных інтэрвалаў.

Азначэнне

Размеркаваннем хі-квадрат завецца размеркаванне са шчыльнасцю^:89

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}$

дзе $k\in \mathbb {N}$ — параметр размеркавання, вядомы як «ступені свабоды», $\Gamma (k/2)$ — гама-функцыя.