Размеркаванне Ст’юдэнта

Размеркаванне Ст’юдэнта

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	$\nu >0$ ступені свабоды (рэчаісны лік)
Носьбіт функцыі	$x\in (-\infty ,\infty )$
Шчыльнасць імавернасці	$\textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!$
Функцыя размеркавання	$${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$$ дзе 2F1 — гіпергеаметрычная функцыя
Матэматычнае спадзяванне	0 для $\nu >1$, інакш не існуе
Медыяна	0
Мода	0
Дысперсія	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ для $\nu >2$, ∞ для $1<\nu \leq 2$, інакш не існуе
Каэфіцыент асіметрыі	0 для $\nu >3$, інакш не існуе
Каэфіцыент эксцэсу	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ для $\nu >4$, ∞ для $2<\nu \leq 4$, інакш не існуе
Энтрапія	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}$ ψ: дыгама-функцыя, B: бэта-функцыя
Утваральная функцыя момантаў	не існуе
Характарыстычная функцыя	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ для $\nu >0$ $K_{\nu }(x)$: мадыфікаваная функцыя Беселя другога парадку

Размеркаванне Ст’юдэнта (або t-размеркаванне) $t_{\nu }$ — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей, абагульненне стандартнага нармальнага размеркавання. Як і стандартнае нармальнае, размеркаванне Ст’юдэнта сіметрычнае вакол нуля і яго шчыльнасць называюць звонападобнай крывой.

У параўнанні з нармальным, размеркаванне Ст’юдэнта мае цяжэйшыя хвасты, то бок шчыльнасць не так моцна сканцэнтравана вакол нуля. «Цяжкасць» хвастоў рэгулюецца параметрам $\nu$. Пры $\nu =1$ размеркаванне Ст’юдэнта ператвараецца ў стандартнае размеркаванне Кашы, а пры $\nu \rightarrow \infty$ — у стандартнае нармальнае размеркаванне $N(0,1)$.

Размеркаванне Ст’юдэнта часта прымяняецца ў статыстыцы, напрыклад у t-крытэрыі Ст’юдэнта для ацэнкі статыстычнай вартасці розніцы паміж двума выбаркавымі сярэднімі, у пабудове давяральных інтэрвалаў на розніцу паміж сярэднімі і ў лінейным рэгрэсійным аналізе.

Гісторыя і этымалогія

Упершыню размеркаванне Ст’юдэнта было выведзена як апастэрыёрнае ў 1876 Гельмертам і Люротам. У абагульненай форме размеркавання Пірсана IV тыпу яно таксама з’яўлялася ў артыкуле Карла Пірсана 1895 года.

Назва размеркавання паходзіць ад псеўданіма Уільяма Сілі Гасета, пад якім ён у 1908 годзе апублікаваў свой артыкул у часопісе Biometrika. Паводле адной з версій, піваварня Guiness, у якой працаваў Гасет, патрабавала, каб работнікі публікавалі свае навуковыя артыкулы пад псеўданімамі замест сапраўдных імёнаў, таму Гасет вымушаны быў падпісацца як «Ст’юдэнт» для захавання ананімнасці. Існуе меркаванне, што такім чынам кампанія хавала ад канкурэнтаў факт выкарыстання t-крытэрыю для вызначэння якасці сыравіны.

Гасет працаваў у піваварні Guiness у Дубліне і цікавіўся задачамі з маленькімі выбаркамі, напрыклад ацэнкай хімічных характарыстык ячменю, дзе выбарка можа складаць толькі 3 элементы. У сваім артыкуле Гасет называе размеркаванне «размеркаваннем частот стандартных адхіленняў выбарак з нармальнага размеркавання». Яно набыло вядомасць дзякуючы працам Рональда Фішэра, які выкарыстаў назву «размеркаванне Ст’юдэнта» і абазначаў крытэрый літарай t.

Азначэнне

Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць размеркавання Ст’юдэнта мае выглад

$f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},$

дзе $\nu$ — колькасць ступеней свабоды, а $\Gamma$ — гама-функцыя. Можна таксама запісаць шчыльнасць у выглядзе

$f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},$

дзе B — бэта-функцыя. Калі значэнне $\nu$ цэлае, маем: Для цотнага $\nu >1$,

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot$

Для няцотнага $\nu >1$,

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!$

Шчыльнасць імавернасці сіметрычная і яе графік нагадвае формай звонападобную шчыльнасць нармальнага размеркавання з матэматычным спадзяваннем 0 і дысперсіяй 1, але трохі ніжэйшы і шырэйшы. З ростам колькасці ступеней свабоды, t-размеркаванне набліжаецца да стандартнага нармальнага, таму параметр ${\nu }$ часам называюць параметрам нармальнасці.

Функцыя размеркавання

Функцыю размеркавання можна запісаць для t > 0 як

$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),$

дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя, а

$x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.$

Для іншых t значэнне можа быць атрымана зыходзячы з сіметрыі. Альтэрнатыўная форма, слушная для $t^{2}<\nu$ мае выгляд

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\tfrac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(\nu +1)\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\tfrac {\nu }{2}}\right)}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}(\nu +1);{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {t^{2}}{\nu }}\right),$

дзе ₂F₁ — гіпергеаметрычная функцыя.

Асобныя выпадкі

Для некаторых значэнняў $\nu$ размеркаванне можа быць запісана ў прасцейшай форме:

$\nu$	Шчыльнасць імавернасці	Функцыя размеркавання	Заўвагі
1	${\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)$	Гл. размеркаванне Кашы
2	${\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}$
3	${\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)\right]}$
4	${\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{\left[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}\right]}$
5	${\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {5}}}\right)\right]}$
$\infty$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-t^{2}/2}$	${\frac {1}{2}}{\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$	Гл. нармальнае размеркаванне, функцыя памылак