Медыяна (статыстыка)

Медыя́на, 50-ы перцэнтыль, квантыль 0,5 — значэнне, якое дзеліць упарадкаваную выбарку або размеркаванне імавернасцей на дзве роўныя часткі: «верхнюю» і «ніжнюю». Значэнні элементаў выбаркі (або выпадковай велічыні) з «ніжняй» палавіны будуць не большыя за медыяну, а з «верхняй» — не меншыя за медыяну.

Многавымернае абагульненне медыяны — геаметрычная медыяна.

Азначэнне

Для выпадковай велічыні

Візуалізацыя моды, медыяны і матспадзявання на графіку шчыльнасці імавернасці некаторага размеркавання.

Медыянай выпадковай велічыні называецца такі лік $m$, для якога выконваецца няроўнасць

$F(m)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m+0),$

дзе $F(m)$ — функцыя размеркавання выпадковай велічыні ў пункце $m$, $F(m+0)$ — яе аднабаковы ліміт справа.

Калі функцыя размеркавання непарыўная, то няроўнасць у азначэнні спрашчаецца да роўнасці $F(m)=1/2.$ Калі такая ўмова справядліва для некалькіх пунктаў $m,$ то ўсе яны ёсць медыянамі.

Для выбаркі

У статыстыцы, каб вылічыць медыяну, неабходна ўпарадкаваць элементы выбаркі ад найменшага да найбольшага і выбраць значэнне пасярэдзіне (напрыклад, медыяна выбаркі {3, 3, 5, 9, 11} роўная 5). Калі колькасць элементаў у выбарцы цотная, і нельга вылучыць нейкае адно значэнне «пасярэдзіне», то медыяна, звычайна, вызначаецца як сярэдняе з двух значэнняў «пасярэдзіне» (напрыклад, медыянай выбаркі {3, 5, 7, 9} будзе (5 + 7) / 2 = 6).

Уласцівасці

• Для выпадковай велічыні $X$ з непарыўнай функцыяй размеркавання, медыяна мінімізуе абсалютны момант першага парадку $\mathbb {E} [|X-c|]$.

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Спасылкі

• AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions (нявызн.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 2 April 2015. Праверана 16 March 2015.
• Weisstein, Eric W.. Statistical Median (нявызн.). MathWorld.