Многавымерная выпадковая велічыня

Многавымерная выпадковая велічыня або выпадковы вектар — набор аднамерных выпадковых велічынь. Асобныя велічыні прадстаўляюць у выглядзе вектара, калі паміж імі ёсць пэўная сувязь, часта яны адлюстроўваюць розныя характарыстыкі аднаго аб’екта. Напрыклад выпадковым вектарам можа быць сукупнасць узросту, вагі і росту чалавека, якога выпадкова выбіраюць з пэўнай групы людзей.

Азначэнне

Выпадковым $n$-мерным вектарам завецца адлюстраванне ${\boldsymbol {\xi }}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},$ каардынатнымі функцыямі якога ёсць выпадковыя велічыні $\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n},$ зададзеныя на імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}},P).$^:93

Адлюстраванне ${\boldsymbol {\xi }}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ ёсць ${\mathcal {A}}$-вымерным адлюстраваннем вымернай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ у вымерную прастору $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n}),$ дзе ${\mathcal {B}}^{n}$ — алгебра ўсіх барэлеўскіх падмностваў мноства $\mathbb {R} ^{n}.$

Размеркаванне і функцыя размеркавання

Для многавымерных выпадковых велічынь існуюць свае аналагі размеркавання і функцыі размеркавання^:94.

Адлюстраванне $P_{\boldsymbol {\xi }}:{\mathcal {B}}^{n}\to \mathbb {R} ,$ якое для кожнага барэлеўскага мноства задаецца роўнасцю $P_{\boldsymbol {\xi }}(B):=P({\boldsymbol {\xi }}\in B),$ завецца размеркаваннем выпадковага вектара ${\boldsymbol {\xi }}.$

Функцыя

$F_{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {x}})=F_{1,2,\dots ,n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=P(\xi _{1}<x_{1},\xi _{2}<x_{2},\dots ,\xi _{n}<x_{n})$

завецца функцыяй размеркавання выпадковага вектара ${\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}).$

Уласцівасці функцыі размеркавання

Для функцый размеркавання многавымерных выпадковых велічынь справядлівыя наступныя ўласцівасці^:94-97:

1. $F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ неспадальная і непарыўная злева па кожным аргуменце;
2. калі значэнне прынамсі аднаго з аргументаў $x_{k}$ імкнецца да $-\infty ,$ то значэнне функцыі размеркавання імкнецца да нуля;
3. $F(+\infty ,x_{2},\dots ,x_{n})=F_{2,3,\dots ,n}(x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}),$ і аналагічныя роўнасці маюць месца, калі значэнні некаторых аргументаў роўныя $+\infty$ і ўрэшце $F(+\infty ,+\infty ,\dots ,+\infty )=1;$
4. для любых неадмоўных $h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}$ мае месца няроўнасць $F(x_{1}+h_{1},x_{2}+h_{2},\dots ,x_{n}+h_{n})-F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\geq 0.$

Як і ў аднамерным выпадку, кожная функцыя $F$, якая задавальняе ўласцівасцям, мае адпаведны выпадковы вектар, чыя функцыя размеркавання супадае з $F.$

Класіфікацыя

Многавымернае дыскрэтнае размеркаванне

Размеркаванне выпадковага вектара завецца дыскрэтным, калі ён прымае канечную або злічальную колькасць значэнняў. Гэта эквівалентна таму, што кожная кардыната выпадковага вектара мае дыскрэтнае размеркаванне^:99.

Прыклад многавымернага дыскрэтнага размеркавання — паліномнае размеркаванне.

Многавымернае абсалютна непарыўнае размеркаванне

Візуалізацыя шчыльнасці двухвымернага размеркавання

Размеркаванне выпадковага вектара завецца абсалютна непарыўным, калі існуе амаль усюды неадмоўная функцыя $f_{1,2,\dots ,n}:\mathbb {R} _{n}\to \mathbb {R} ,$ такая, што^:100

$P_{\boldsymbol {\xi }}(B)=P({\boldsymbol {\xi }}\in B)=\int _{B}f_{1,2,\dots ,n}({\boldsymbol {x}})d{\boldsymbol {x}}$

для кожнага барэлеўскага мноства $B\subset \mathbb {R} ^{n}$, а інтэграл разумеюць у сэнсе Лебега. Функцыя $f_{1,2,\dots ,n}({\boldsymbol {x}})$ завецца шчыльнасцю размеркавання выпадковага вектара або шчыльнасцю сумеснага размеркавання выпадковых велічынь.

Прыклады многавымерных абсалютна непарыўных размеркаванняў — многавымернае нармальнае і размеркаванне Дзірыхле.

Функцыі ад многавымерных выпадковых велічынь

Калі ${\boldsymbol {\xi }}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ — выпадковы вектар, а вектар-функцыя ${\boldsymbol {\varphi }}:{\boldsymbol {\xi }}(\Omega )\to \mathbb {R} ^{m}$ барэлеўская, то кампазіцыя ${\boldsymbol {\eta }}={\boldsymbol {\varphi }}\circ {\boldsymbol {\xi }}$ — выпадковы вектар з размеркаваннем^:105

$P({\boldsymbol {\eta }}={\boldsymbol {\varphi }}({\boldsymbol {\xi }})\in B)=\int \limits _{{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(B)}dF_{\boldsymbol {\xi }},$

дзе $B$ — адвольнае барэлеўскае мноства, а $F_{\boldsymbol {\xi }}$ — функцыя размеркавання ${\boldsymbol {\xi }}.$