Паліномнае размеркаванне
Параметры |
колькасць выпрабаванняў (цэлая) | ||
---|---|---|---|
Носьбіт функцыі | |||
Функцыя імавернасці | |||
Матэматычнае спадзяванне | |||
Дысперсія |
| ||
Энтрапія | |||
Утваральная функцыя момантаў | |||
Характарыстычная функцыя | дзе | ||
Імавернасная ўтваральная функцыя | для |
Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага размеркавання. Напрыклад, такое размеркаванне маюць колькасці выпадзенняў кожнага значэння на k-гранным кубіку, які падкідаецца n разоў. Для n незалежных выпрабаванняў, якія маюць k магчымых зыходаў з фіксаванымі імавернасцямі, паліномнае размеркаванне апісвае імавернасць кожнай камбінацыі колькасцей кожнага з гэтых зыходаў.
Калі і , паліномнае размеркаванне супадае з размеркаваннем Бэрнулі. Для і — з біномным размеркаваннем. Для і — з катэгарыяльным размеркаваннем .
Азначэнне
[правіць | правіць зыходнік]Няхай k — натуральны лік і кожнае выпрабаванне мае адзін з k магчымых зыходаў з імавернасцямі p1, …, pk. Праводзіцца n незалежных выпрабаванняў. З таго, што зыходы несумяшчальныя і адзін з іх мусіць адбыцца маем pi ≥ 0 для i = 1, …, k і . Калі выпадковыя велічыні Xi прымаюць значэнні колькасці выпрабаванняў, у якіх назіраўся зыход i, кажуць, што выпадковы вектар X = (X1, …, Xk) мае паліномнае размеркаванне з параметрамі n і p, дзе p = (p1, …, pk). Хаця выпрабаванні незалежныя, велічыні Xi залежныя, бо іх сума мае быць роўнай n.
Функцыя імавернасці
[правіць | правіць зыходнік]Функцыя імавернасці паліномнага размеркавання мае выгляд[1]
для неадмоўных цэлых x1, …, xk.
Функцыю імавернасці можна перапісаць з выкарыстаннем гама-функцыі:
Гэтая форма паказвае падабенства да размеркавання Дзірыхле, якое выкарыстоўваецца як спалучанае апрыёрнае для паказнікавага размеркавання.
Прыклад
[правіць | правіць зыходнік]Няхай на выбарах у некаторай вялікай краіне кандыдат A набраў 20 % галасоў, кандыдат B — 30 %, а кандыдат C — 50 %. Калі ўзяць 6 выпадковых выбаршчыкаў, якая імавернасць таго, што сярод іх адзін галасаваў за кандыдата A, два за кандыдата B і тры за кандыдата C?
Строга кажучы, паводле ўмовы задачы адбываецца выбарка без вяртання , таму для дакладнага адказу на пытанне трэба ведаць колькасць усіх выбаршчыкаў у краіне і скарыстацца многавымерным гіпергеаметрычным размеркаваннем. Але калі краіна дастаткова вялікая, паліномнае размеркаванне дазваляе атрымаць адказ з вельмі невялікай хібнасцю. Падстаўляючы значэнні ў формулу функцыі імавернасці, атрымліваем
Зноскі
- ↑ Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.