Гравітацыйная задача N цел

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Гравітацыйная задача N цел з'яўляецца класічнай праблемай нябеснай механікі і гравітацыйнай дынамікі Ньютана.

Яна фармулюецца наступным чынам.

У пустаце знаходзіцца N матэрыяльных пунктаў, масы якіх вядомыя {mi}. Няхай папарнее ўзаемадзеянне пунктаў падпарадкавана закону прыцягнення Ньютана, і хай сілы гравітацыі адытыўная. Няхай вядомыя пачатковыя на момант часу t = 0 становішча і хуткасці кожнай кропкі ri|=0=ri0, vi|t=0=vi0. Трэба знайсці становішча пунктаў для ўсіх наступных момантаў часу.

Матэматычная фармуліроўка гравітацыйнай задачы N цел[правіць | правіць зыходнік]

Эвалюцыя сістэмы N цел (матэрыяльных пунктаў) апісваецца наступнай сістэмай ўраўненняў:


\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i,

\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \,
\frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf
r}_i\right|^{3}},

дзе m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i - маса, радыус-вектар і хуткасць і-га цела адпаведна, G - гравітацыйная пастаянная. Масы цел, а таксама палажэнні і хуткасці ў пачатковы момант часу лічацца вядомымі. Неабходна знайсці палажэнні і хуткасці ўсіх часціц у адвольны момант часу.

Аналітычнае рашэнне[правіць | правіць зыходнік]

Траекторыі двух цел з рознай масай, якія ўзаемадзейнічаюць меж сабой.
Прыблізныя траекторыі трох аднолькавых цел, якія знаходзіліся ў вяршынях нераўнабокага трыкутніка і якія валодалі нулявымі пачатковымі хуткасцямі
  • Выпадак адасобленага пункту N = 1 не з'яўляецца прадметам разгляду гравітацыйнай дынамікі. Паводзіны такога пункта апісваецца першым законам Ньютана. Гравітацыйнае ўзаемадзеянне - гэта, як мінімум, парны акт.
  • Рашэннем задачы двух цел N = 2 з'яўляецца барыцентрычная сістэмная арбіта (не блытаць з палявой цэнтральнай арбітай Кеплера). У поўнай адпаведнасці з зыходнай пастаноўкай задачы, рашэнне задачы двух цел зусім неадчувальна да нумарацыі пунктаў і суадносін іх мас. Палявая цэнтральная арбіта Кеплера ўзнікае гранічным пераходам m1/m2 → 0. Пры гэтым губляецца раўнапраўе пунктаў: m2 прымаецца абсалютна нерухомым цэнтрам, які імкнецца, а першы пункт «губляе» масу, - параметр m1 выпадае з дынамічных ўраўненняў. У матэматычным сэнсе сістэма, якая ўзнікае - дэгенератыўныя, так як колькасць ўраўненняў і параметраў памяншаецца ў два разы. Таму зваротная асімптотыка становіцца немагчымай: з законаў Кеплера не вынікае закон прыцягнення Ньютана. (Варта ўлічыць, што масы наогул не згадваюцца ў законах Кеплера!)
  • Для задачы трох цел ў 1912 Карлам Зундманам было атрымана агульнае аналітычнае рашэнне ў выглядзе шэрагаў. Хоць гэтыя шэрагі і сыходзяцца для любога моманту часу, з любымі пачатковымі ўмовамі, але сыходзяцца яны вельмі павольна[1]. З-за вельмі павольнай збежнасці практычнае выкарыстанне шэрагаў Зундмана немагчыма[2].

Таксама, для задачы трох цел Генрыхам Брунсам і Анры Пуанкарэ было паказана, што яе агульнае рашэнне нельга выказаць праз алгебраічныя або праз адназначныя трансцэндэнтныя функцыі каардынат і хуткасцяў [2]. Акрамя таго, вядома толькі 5 дакладных рашэнняў задачы трох цел для спецыяльных пачатковых хуткасцяў і каардынат аб'ектаў.

  • На дадзены момант, у агульным выглядзе задача N цел для N>3 можа быць вырашана толькі колькасна (гл. ніжэй). Прычым для N = 3 шэрагі Зундмана нават пры сучасным узроўні кампутараў выкарыстаць практычна немагчыма.

Лікавыя метады[правіць | правіць зыходнік]

З з'яўленнем кампутарнай тэхнікі з'явілася рэальная магчымасць вывучаць ўласцівасці сістэм цел шляхам колькаснага рашэння сістэмы ўраўненняў руху. Для гэтага выкарыстоўваюцца часцей за ўсё наступныя лікавыя метады:

  • Метад Рунге - Кута (звычайна - чацвёртага парадку, але часта выкарыстоўваюцца і больш высокія парадкі).
  • ...

Лікавыя метады сутыкаюцца з тымі ж праблемамі, што і аналітычныя - пры цесным збліжэнні цел неабходна памяншаць крок інтэгравання, а пры гэтым хутка растуць лікавыя памылкі. Акрамя таго, пры «прамым» інтэграванні лік вылічэнняў сілы для кожнага кроку расце з ростам колькасці цел прыблізна як N^2, што робіць практычна немагчымым мадэляванне сістэм, якія складаюцца з дзясяткаў і сотняў тысяч цел.

Для вырашэння гэтай праблемы ўжываюць наступныя алгарытмы (або іх камбінацыі):

  • Схема Ахмада-Коэна - прапаноўвае падзяліць сілу, якая дзейнічае на кожнае цела, на 2 часткі - ірэгулярную (ад блізкіх цел - «суседзяў») і рэгулярную (ад больш далёкіх целаў).

Адпаведна, рэгулярную сілу можна перавылічыць з значна большым крокам, чым ірэгулярную.

  • «Дрэўны алгарытм» (Treecode), упершыню рэалізаваны Джошуа Барнесам [3].

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі