Сферычная сістэма каардынат

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Кропка P мае тры дэкартавых і тры сферычных каардынаты

Сферычную сістэму каардынат зручна вызначаць, суадносячы з дэкартавай прамавугольнай сістэмай каардынат (гл. малюнак):

Сферычнымі каардынатамі называюць сістэму каардынат для адлюстравання геаметрычных уласцівасцей фігуры ў трох вымярэннях з дапамогай заданні трох каардынат (r,\;\theta,\;\varphi), где r - адлегласць да пачатку каардынат, а \theta и \varphi - зенітны і азімутальны вугал адпаведна.

Паняцці зеніт і азімут шырока выкарыстоўваюцца ў астраноміі. Наогул зеніт - гэта напрамак вертыкальнага ўздыму над адвольна абраным пунктам (пунктам назірання) або плоскасцю, у якой ляжыць гарызонт, або плоскасцю экліптыкі і г. д., што спараджае розныя сістэмы нябесных каардынат. Азімут - вугал паміж адвольна абраным прамянём фундаментальнай плоскасці з пачаткам у пункце назірання і іншым прамянём гэтай плоскасці, якія маюць агульны пачатак з першым.

У дачыненні да нашага малюнку сферычнай сістэмы каардынат, фундаментальная плоскасць — гэта плоскасць XY. Зеніт - нейкая аддаленая кропка, якая ляжыць на восі Z і бачная з пачатку каардынат. Азімут адлічваецца ад восі X да праекцыі радыус-вектара r на плоскасць XY. Гэта тлумачыць назвы вуглоў, як і тое, што сферычная сістэма каардынат можа служыць абагульненнем (хай хоць бы і набліжаным) мноства відаў сістэм нябесных каардынат.

Азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Тры каардынаты (r,\;\theta,\;\varphi) вызначана як:

  • r\geqslant 0 — адлегласць ад пачатку каардынат да зададзенай кропкі P.
  • 0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ — вугал меж воссю Z і адрэзкам, які злучае пачатак каардынат і кропку P.
  • 0\leqslant\varphi< 360^\circ — вугал меж воссю X і праэкцыяй адрэзка, які злучае пачатак каардынат з кропкай P, на плоскасць XY (у ЗША вуглы \theta і \varphi мяняюцца месцамі.

Вугал math>\theta</math> называецца зенітным, або палярным, ці нармальным, а таксама ён можа быць названы англійскім словам colatitude, а вугал \varphi - азымутальным. Вуглы \theta і \varphi не маюць значэння пры r=0, а \varphi не мае значэння пры \sin(\theta)=0 (то ёсць пры \theta=0 ці \theta=180^\circ).

Залежна ці незалежна ад стандарту ISO 31-11, існуе і такое пагадненне або канвенцыя (англ.: {{{1}}} convention), калі замест зенітнага вугла \theta, выкарыстоўваецца вугал паміж праекцыяй радыус-вектара пункту r на плоскасць xy і самім радыус-вектарам r, роўны 90^\circ\theta. Ён называецца вуглом уздыму і можа быць пазначаны той жа літарай \theta. У гэтым выпадку ён будзе зменяцца ў межах -90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ.

Тады вуглы \theta і \varphi не маюць значэння пры r=0, так як і ў першаму выпадку, а \varphi не мае значэння пры \cos(\theta)=0, (ужо пры \theta=-90^\circ або \theta=90^\circ).

Пераход да іншых сістэм каардынат[правіць | правіць зыходнік]

  • Дэкартава сістэма каардынат
    • Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да дэкартавых здзейсняецца па формулам:
      \begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\varphi, \\
y=r\sin\theta\sin\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Зваротна, ад дэкартавых да сферычных:
      \begin{cases}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
\theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right).
\end{cases}
      • (тут, вядома, патрабуецца пэўнае натуральнае ўдакладненне для значэнняў \varphi па-за першым актантам; таксама для ўсіх формул з арктангенсам тут і ніжэй; зрэшты, замена на адпаведную формулу з арккосінусам здымае гэтае пытанне ў дачыненні да каардынаты \theta).
    • Якабіян ператварэнні ад дэкартавых да сферычных:
      J=r^2\sin\theta.\
  • Цыліндрычная сістэма каардынат
    • Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да цыліндрычным ажыццяўляецца па формулах:
      \begin{cases}
\rho=r\sin\theta, \\
\varphi=\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Зваротна ад цыліндрычных да сферычных:
      \begin{cases}
r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\
\theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\
\varphi=\varphi.
\end{cases}
    • Якабіян ператварэнні ад сферычных да цыліндрычных:
      J=r.\

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]