Задача Бертрана

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Задача Бертрана — задача, зваротная да задачы двух целаў і якая складаецца ў вызначэнні сілы ўзаемадзеяння па вядомых уласцівасцях траекторый руху.

Першая задача Бертрана[правіць | правіць зыходнік]

Ньютан паказаў, што яго закон сусветнага прыцягнення і яго механіка прыводзяць да эмпірычных законам Кеплера, але пакінуў адкрытым пытанне аб тым, ці існуюць іншыя ўзаемадзеяння, вядучыя да законаў Кеплера, пазначыўшы яго ў сваіх матэматычных пачатках. Сітуацыя змянілася толькі ў 1870-х гадах, калі Бертран і яго калегі звярнуліся да наступнай задачы:

Першая задача Бертрана. Знайсці закон сіл, якія залежаць толькі ад становішча якая рухаецца кропкі, і прымушае яе апісваць канічныя сячэнні, якія б ні былі пачатковыя ўмовы.

Гэтая задача была паспяхова вырашана Дарбу і Альфеном [1] пры дадатковым здагадцы, што сіла цэнтральная, а затым удалося адкінуць і гэту ўмову [2]. Аказалася, што такіх узаемадзеяння два - закон сусветнага прыцягнення і закон Гука. Тым самым пытанне, што заставаўся з часоў Ньютана, быў вычарпальна вырашана: для высновы закона сусветнага прыцягнення дастаткова было даведацца з вопыту, што траекторыі планет - канічныя сячэнні і што гэты закон - не закон Гука.

Другая задача Бертрана[правіць | правіць зыходнік]

Здагадку аб цэнтральнай сіле, зрэшты, можна было б зрабіць і з агульных меркаванняў сіметрыі задачы.

Другая задача Бертрана. Ведаючы, што сіла, якая выклікае рух планеты вакол Сонца, залежыць толькі ад адлегласці і такая, што яна прымушае свой ​​пункт прыкладання апісваць замкнёную крывую, якія б ні былі пачатковыя ўмовы, калі толькі хуткасць менш некаторага мяжы, знайсці закон гэтай сілы.

Адказ кароткі: закон сілы можа быць або законам Гука, або законам сусветнага прыцягнення.

Задача вырашана самім Бертранам [3]. Найбольш поўнае рашэнне прыведзена ў нататцы Дарбу да механікі Депейру [4].

Задача Кенігса[правіць | правіць зыходнік]

Кенігс (Koenigs G.) прапанаваў яшчэ больш агульную задачу:

Задача Кенігса. Ведаючы, што сіла, якая выклікае рух планеты вакол Сонца, залежыць толькі ад адлегласці і такая, што яна прымушае свой ​​пункт прыкладання апісваць алгебраічную крывую, якія б ні былі пачатковыя ўмовы, знайсці закон гэтай сілы.

Як гэта ні дзіўна, але адказ той жа: закон сілы можа быць або законам Гука або законам сусветнага прыцягнення.

Вычарпальнае рашэнне задачы дадзена самім Кенігсам [5].

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Гэтае рашэнне атрымалася спрасціць Полю Апэлю; гл. Апэль Механіка, Т. 1, п. 232
  2. Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
  3. Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849—853.
  4. Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Гэтая ж задача прадстаўлена ў выглядзе цыкла задач да § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
  5. Koenigs G. // Bull. de la Societe de France, t. 17, p. 153—155.