Пункты Лагранжа

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Пункты Лагранжа і эквіпатэнцыяльныя паверхні сістэмы двух тэл

Пункты Лагранжа (лац. librātiō - разгойдванне) або L-пункты - пункты ў сістэме з двух масіўных цел, у якіх трэцяе цела з занядбана малой масай, на якое не дзейнічаюць ніякія іншыя сілы, акрамя гравітацыйных сіл з боку двух першых тэл, можа заставацца нерухомым адносна гэтых тэл.

Больш дакладна пункту Лагранжа ўяўляюць сабой прыватны выпадак пры вырашэнні т. з. абмежаванай задачы трох цел — калі арбіты ўсіх тэл з'яўляюцца кругавымі і маса аднаго з іх нашмат менш масы любога з двух іншых. У гэтым выпадку можна лічыць, што два масіўных цела звяртаюцца вакол іх агульнага цэнтра мас з пастаяннай вуглавой хуткасцю. У прасторы вакол іх існуюць пяць пунктаў, у якіх трэцяе цела з занядбана малой масай можа заставацца нерухомым у круцільнай сістэме адліку, якая звязаная з масіўнымі целамі. У гэтых пунктахах гравітацыйныя сілы, якія дзейнічаюць на малое цела, ўраўнаважваюцца цэнтрабежнай сілай.

Пункты Лагранжа атрымалі сваю назву ў гонар матэматыка Жазэфа Луі Лагранжа, які першым у 1772 выявіў гэту з'яву.

Схема пяці лагранжевых пунктаў у сістэме двух целаў, калі адно цела нашмат масіўней іншага (Сонца і Зямля). У такой сістэме пункты L3, L4, L5 паказаны на самой арбіце, хоць фактычна яны будуць знаходзіцца трохі за ёй

Размяшчэнне пунктаў Лагранжа[правіць | правіць зыходнік]

Усе пункты Лагранжа ляжаць у плоскасці арбіт масіўных целаў і абазначаюцца загалоўнай лацінскай літарай L з лічбавым індэксам ад 1 да 5. Першыя тры пункты размешчаны на лініі, якая праходзіць праз абодва масіўных цела. Гэтыя пункты Лагранжа называюцца калінеарными і абазначаюцца L1, L2 і L3.

L1 знаходзіцца паміж дзвюма целамі сістэмы, бліжэй да менш масіўным целе, L2 - звонку, за менш масіўным целам і L3 - за больш масіўным. Адлегласці ад цэнтра мас сістэмы да гэтых кропак у першым набліжэнні па α разлічваюцца з дапамогай наступных формул[1][2]:

 r_1 =  \left ( R \left[ 1 - \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right], 0 \right )
 r_2 =  \left ( R \left[ 1 + \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right], 0 \right )
 r_3 =  \left ( R \left[ 1 + \frac{5}{12} \alpha  \right], 0 \right )

где  \alpha = \frac{M_2}{M_1+M_2} ,

R — адлегласць меж целамі
M1 — маса больш масіўнага цела,
M2 — маса другога цела.

L1[правіць | правіць зыходнік]

Пункт L1 ляжыць на прамой, якая злучае два цела з масамі M1 і M2 (M1 > M2), і знаходзіцца паміж імі, паблізу другога цела. Яе наяўнасць абумоўлена тым, што гравітацыя цела M2 часткова кампенсуе гравітацыю цела M1. Пры гэтым чым больш M2, тым далей ад яго будзе размяшчацца гэты пункт.

Выкарыстанне[правіць | правіць зыходнік]

У сістэме Сонца-Зямля пункт L1 можа быць ідэальным месцам для размяшчэння касмічнай абсерваторыі для назірання Сонца, якое ў гэтым месцы ніколі не перакрываецца ні Зямлёй, ні Месяцам. Напрыклад, Сонечная геліясферная абсерваторыя (SOHO) рухаецца менавіта вакол пункта L1, разам з дзвюма іншымі апаратамі Advanced Composition Explorer (ACE) і WIND.

Месяцовы пункт L1 (у сістэме Зямля-Месяц) можа стаць ідэальным месцам для будаўніцтва касмічнай пілатуемай арбітальнай станцыі, якая дазволіла б лёгка дабрацца да Месяца з мінімальнымі выдаткамі паліва і стаць ключавым вузлом грузавога патоку паміж Зямлёй і нашым спадарожнікам.

L2[правіць | правіць зыходнік]

Пункт L2 у сістэме Сонца-Зямля

Пункт L2 ляжыць на прамой, якая злучае два цела з масамі M1 і M2 (M1>M2) і знаходзіцца за целам з меншай масай. Пункты L1 і L2 размяшчаюцца на адной лініі і ў мяжы M1 >> M2 сіметрычныя адносна M2. У пункце L2 гравітацыйныя сілы, якія дзейнічаюць на цела, кампенсуюць дзеянне цэнтрабежных сіл у круцільнай сістэме адліку.

Пункт L2 ў сістэме Сонца-Зямля з'яўляецца ідэальным месцам для будаўніцтва арбітальных касмічных абсерваторый і тэлескопаў. Паколькі аб'ект у пункце L2 здольны працяглы час захоўваць сваю арыентацыю адносна Сонца і Зямлі, вырабляць яго экранаванне і каліброўку становіцца значна прасцей. Аднак гэты пункт размешчаны крыху далей зямной цені (у галіне паўцені) [3], так што сонечная радыяцыя блакуецца не цалкам. У гэтым пункце ўжо знаходзяцца апараты амерыканскага і еўрапейскага касмічных агенцтваў WMAP, Планк і касмічны тэлескоп Гершэль. У 2013 годзе да іх можа далучыцца тэлескоп Gaia, а ў 2018 - Джэймс Вебб. Пункт L2 ў сістэме Зямля-Месяц можа быць выкарыстана для забеспячэння спадарожнікавай сувязі з аб'ектамі на адваротным баку Месяца, а таксама быць зручным месцам для размяшчэння заправачнай станцыі для аблугоўвання грузапатоку паміж Зямлёй і Месяцам[4]

Калі M2 шмат менш па масе, чым M1, то пункты L1 і L2 знаходзяцца на прыкладна аднолькавай адлегласці r ад цела M2, роўным радыусе сферы Хіла:

r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}

L3[правіць | правіць зыходнік]

Тры з пяці пунктаў Лагранжа размешчаны на адной восі

Пункт L3 ляжыць на прамой, якая злучае два цела з масамі M1 і M2 (M1>M2), і знаходзіцца за целам з большай масай. Гэтак жа, як для пункта L2, у гэтым пункце гравітацыйныя сілы кампенсуюць дзеянне цэнтрабежных сіл.

Да пачатку касмічнай эры сярод пісьменнікаў-фантастаў была вельмі папулярная ідэя аб існаванні на супрацьлеглым баку зямной арбіты ў пункце L3 іншай аналагічнай ёй планеты, званай «Супрацьзямля», якая з-за свайго размяшчэння была недаступная для прамых назіранняў. Аднак, з з'яўленнем магчымасці вырабляць назірання з дапамогай касмічных апаратаў і зондаў было паказана, што гэтая гіпотэза з'яўляецца памылковай. На самай справе з-за гравітацыйнага ўплыву іншых планет пункт L3 ў сістэме Сонца-Зямля з'яўляецца вельмі няўстойлівым. Так, падчас супрацьстаянняў паміж Зямлёй і Венерай, якія здараюцца кожныя 20 месяцаў, Венера знаходзіцца ўсяго ў 0,3 а. а. ад пункту L3 і такім чынам аказвае вельмі сур'ёзны ўплыў на яе размяшчэнне адносна зямной арбіты. Акрамя таго, з-за незбалансаванасці цэнтра цяжару сістэмы Сонца-Юпітэр адносна Зямлі і эліптычнасці зямной арбіты, так званая Супрацьзямля ўсё роўна, час ад часу, была б даступная для назіранняў і абавязкова была б заўважана.

Арбітальныя касмічныя апараты і спадарожнікі, размешчаныя паблізу гэтага пункту L3, могуць пастаянна сачыць і аператыўна дакладваць на Зямлю інфармацыю аб розных формах актыўнасці на паверхні Сонца, у прыватнасці, аб з'яўленні новых плям або выбліскаў, і выкарыстоўвацца ў якасці сістэмы ранняга папярэджання аб касмічнай надвор'і NOAA Space Weather Prediction Center з запасам часу да 7 дзён. Акрамя таго, інфармацыя з такіх спадарожнікаў можа быць выкарыстана для забеспячэння бяспекі далёкіх пілатуемых палётаў, напрыклад да Марса або астэроідаў. У 2010 годзе былі вывучаны некалькі варыянтаў запуску падобнага спадарожніка[5].

L4 і L5[правіць | правіць зыходнік]

Гравітацыйнае паскарэнне ў L4

Калі на аснове лініі, якая злучае абодва цела сістэмы, пабудаваць два роўнабаковыя трохкутнікі, дзве вяршыні якіх адпавядаюць цэнтрам цел M1 і M2, то пункты L4 і L5 будуць адпавядаць становішчу трэціх вяршыняў гэтых трохвугольнікаў, размешчаных у плоскасці арбіты другога цела ў 60 градусах наперадзе і ззаду яго.

Адлегласці ад цэнтра мас сістэмы да гэтых пунктаў у каардынатнай сістэме з цэнтрам каардынат у цэнтры мас сістэмы разлічваюцца па наступных формулах:

 r_4 = \left ( \frac{R}{2} \beta,   \frac{\sqrt{3}R}{2} \right )
 r_5 = \left ( \frac{R}{2} \beta,   -\frac{\sqrt{3}R}{2} \right )

дзе

 \beta = \frac{M_1-M_2}{M_1+M_2} ,
R — адлегласць меж целамі,
M1 — маса больш масіўнага цела,
M2 — маса друрога цела.

Практычнае прымяненне[правіць | правіць зыходнік]

Даследчыкі ў галіне касманаўтыкі даўно ўжо звярнулі ўвагу на пункты Лагранжа. Напрыклад, у пункце L1 сістэмы Зямля-Сонца зручна размясціць касмічную сонечную абсерваторыю - яна ніколі не будзе трапляць у цень Зямлі, а значыць, назіранні можна весці няспынна. Пункт L2 падыходзіць для касмічнага тэлескопа - тут Зямля амаль цалкам засланяе сонечнае святло, і і сама не перашкаджае назіранням, паколькі звернута да L2 неасветленым бокам. Пункт L1 сістэмы Зямля-Месяц зручны для размяшчэння рэтрансляцыйнай станцыі ў перыяд асваення Месяца. Яна будзе знаходзіцца ў зоне прамой бачнасці для большай часткі звернутага да Зямлі паўшар'я Месяца, а для сувязі з ёй спатрэбяцца перадатчыкі ў дзесяткі разоў менш магутныя, чым для сувязі з Зямлёй.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Разлік палажэння пунктаў Лагранжа
  2. Разлік палажэння пунктаў Лагранжа L4 і L5 (іншы варыянт)
  3. Angular size of the Sun at 1 AU + 930000 miles: 31.6', angular size of Earth at 930000 miles: 29.3'
  4. Zegler, Frank; Bernard Kutter Evolving to a Depot-Based Space Transportation Architecture. AIAA SPACE 2010 Conference & Exposition. AIAA (2010-09-02). — «L2 is in deep space far away from any planetary surface and hence the thermal, micrometeoroid, and atomic oxygen environments are vastly suberior to those in LEO. Thermodynamic stasis and extended hardware life are far easier to obtain without these punishing conditions seen in LEO. L2 is not just a great gateway- it is a great place to store propellants.... L2 is an ideal location to store propellants and cargos: it is close, high energy, and cold. More importantly, it allows the continuous onward movement of propellants from LEO depots thus subpressing their size and effectively minimizing the near-earth boiloff penalties»  Архівавана з першакрыніцы 24 жніўня 2011. Праверана 25 студзеня 2011.
  5. Tantardini, Marco; Fantino, Elena (2010). "Spacecraft trajectories to the 3 point of the Sun–Earth three-body problem". Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (Springer). http://www.springerlink.com/content/64n5k064g2096785/?p=48e1573b8c994ce99d3b72421265fa0e&pi=1.