Інтэгральнае злічэнне

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search
Нагляднае прадстаўленне інтэграла як плошчы S пад графікам функцыі f у прамежку інтэгравання ад a да b.

Інтэгра́льнае злічэ́нне — раздзел матэматычнага аналізу, які вывучае інтэгралы, іх уласцівасці, метады іх вылічэння і іх прыкладанні. Разам з дыферэнцыяльным злічэннем адносіцца да найважнейшых раздзелаў аналізу. Узнікненне інтегральнага злічэння звязана з задачамі вылічэння плошчы і аб'ёму.

Пад назваю інтэграл аб'яднаны паняцці нявызначанага і вызначанага інтэграла, якія з'яўляюцца асноўнымі ў інтэгральным злічэнні. Вылічэнне інтэгралаў называецца інтэграваннем.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Інтэгральнае злічэнне ўзнікла з задач на вызначэнне плошчаў і аб'ёмаў. Найбольш блізка да сучаснага разумення інтэгравання падышоў Архімед (3 ст. да н.э ). Стваральнікі інтэгральнага злічэння І. Ньютан і Г. Лейбніц незалежна адзін ад аднаго пабудавалі інтэгральнае і дыферэнцыяльнае злічэнні і устанавілі іх узаемную адваротнасць.

Далейшае развіццё інтэгральнага злічэння звязана з працамі Л. Эйлера, А. Кашы, Б. Рымана, А. Лебега, Т.І. Сцілцьеса, А.М. Калмагорава і інш.

Асноўныя паняцці[правіць | правіць зыходнік]

Вызначаны інтэграл ад функцыі ставіць ёй у адпаведнасць пэўнае лікавае значэнне. Вызначаны інтэграл ад рэчаіснай функцыі адной зменнай звычайна вытлумачваюць як плошчу фігуры, якая ляжыць паміж графікам функцыі, воссю x і абмежавана з бакоў прамымі, пабудаванымі на межах прамежка інтэгравання паралельна восі y. Пры гэтым кавалкі плошчы, размешчаныя пад воссю х, улічваюцца з адмоўным знакам. Такое пагадненне прынята дзеля таго, каб вызначаны інтэграл задаваў лінейнае адлюстраванне. Лінейнасць інтэграла — вельмі важная і карысная ўласцівасць як для тэарэтычных разважанняў, так і для практычных вылічэнняў.

Нявызначаны інтэграл ад функцыі ставіць ёй у адпаведнасць мноства функцый, элементы якога называюцца першаіснымі. Яны вылучаюцца тым, што іх першыя вытворныя супадаюць з праінтэграванай функцыяй. Асноўная тэарэма дыферэнцыяльнага і інтэгральнага злічэння сцвярджае, што (вызначаныя) інтэгралы можна вылічаць праз значэнні першаіснай.

Вылічэнні[правіць | правіць зыходнік]

У адрозненне ад дыферэнцавання нават для элементарных функцый няма простых прыдатных на ўсе выпадкі алгарытмаў інтэгравання. Вылічэнне інтэгралаў (гл. інтэграванне) толькі ў рэдкіх выпадках выконваецца непасрэдна па формулах (напрыклад, шляхам абарачэння формул дыферэнцавання).

Некаторыя інтэгралы нават ад параўнальна простых функцый нельга выразіць праз элементарныя, напрыклад, інтэграл імавернасці. Інтэгральнае злічэнне служыць крыніцай узнікнення новых (трансцэндэнтных) функцый (інтэгральнага сінуса, інтэгральнага лагарыфма і інш.). Для такіх функцый створаны табліцы значэнняў.

Інтэграванне патрабуе пробных здагадак, выкарыстання спецыяльных пераўтварэнняў (інтэграванне падстаноўкай, інтэграванне па частках), пошуку па табліцах інтэгралаў ці выкарыстання спецыяльнага праграмнага забеспячэння. Часта, асабліва ў прыкладных разліках, інтэграл вылічваецца толькі прыбліжана з дапамогаю так званага лікавага інтэгравання.

У тэхніцы для прыбліжанага вызначэння плошч выкарыстоўваецца адмысловая прылада, так званы планіметр(англ.) бел., у якім складанне элементаў вобласці ажыццяўляецца непарыўна. Лікавае значэнне плошчы, вызначанай такім чынам можна прачытаць на лічыльніку, які для павышэння дакладнасці счытвання аснашчаецца ноніусам(англ.) бел.. Хімікі раней мелі звычай вызначаць інтэгралы адвольных паверхняў з дапамогаю аналітычных вагаў(ням.) бел. ці мікравагаў(ням.) бел.: плоскую вобласць старанна выразалі і ўзважвалі, тое ж рабілі з кавалкам такой самай паперы памерам роўна 10 см × 10 см, далей складалі прапорцыю і атрымлівалі плошчу вобласці.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Інтэгральнае злічэнне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 7: Застаўка — Кантата / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн.: БелЭн, 1998. С. 280.