Тэорыя мностваў

Дыяграма Вена, якая ілюструе перасячэнне двух мностваў

Тэо́рыя мно́стваў — раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца агульныя ўласцівасці мностваў.

Сучасныя даследаванні тэорыі мностваў былі пачаты Георгам Кантарам і Рыхардам Дэдэкіндам у 1870-х гадах. Г. Кантар увёў паняцці магутнасці мноства, даказаў незлічальнасць мноства рэчаісных лікаў, сфармуляваў паняцце актуальна бясконцага. Пасля адкрыцця парадоксаў наіўнай тэорыі мностваў, у пачатку XX стагоддзя былі прапанаваны шматлікія сістэмы аксіём, сярод якіх самай вядомай з’яўляецца сістэма Цэрмела-Фрэнкеля, з аксіёмай выбару. Тэорыя мностваў разглядаецца як базіс матэматыкі.

Метады тэорыі мностваў знаходзяць прымяненне ў класічных галінах матэматыкі (напрыклад, якаснай тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйным злічэнні, тэорыі імавернасцей). Развіццё тэорыі мностваў глыбока паўплывала на разуменне самога прадмета матэматыкі. Так, тэорыя мностваў з’яўляецца фундаментам шэрагу матэматычных дысцыплін (напрыклад, тэорыі функцый рэчаіснай пераменнай, агульнай тапалогіі, агульнай алгебры, функцыянальнага аналізу).

Асноўныя паняцці

Паняцце мноства адносіцца да першапачатковых матэматычных паняццяў і можа быць патлумачана толькі на прыкладах. Так, можна казаць пра мноства людзей, якія жывуць на нашай планеце ў дадзены момант часу, пра мноства кропак дадзенай геаметрычнай фігуры, пра мноства рашэнняў дадзенага дыферэнцыяльнага ўраўнення. Людзі, якія жывуць на нашай планеце ў дадзены момант часу, кропкі дадзенай геаметрычнай фігуры, рашэнне дадзенага дыферэнцыяльнага ўраўнення з’яўляюцца элементамі адпаведнага мноства.

Адным з асноўных паняццяў тэорыі мностваў з’яўляецца паняцце прыналежнасці элемента мноству. У якасці абазначэння таго, што прадмет a належыць мноству А, пішуць $a\in A$. (Калі a не належыць А, то пішуць $a{\overline {\in }}A$, $a\not \in A$.)

Мноства A лічыцца зададзеным, калі ўказана характарыстычная ўласцівасць элементаў гэтага мноства, г.зн. такая ўласцівасць, якой валодаюць ўсе элементы гэтага мноства і толькі яны; а калі дадзенай уласцівасці не мае ні адзін з элементаў, то гавораць, што такая ўласцівасць вызначае пустое мноства.

Можа здарыцца, што характарыстычнай уласцівасцю, якая вызначае мноства А, не валодае наогул ні адзін з элементаў; тады кажуць, то такая ўласцівасць вызначае пустое мноства і пішуць $A=\varnothing$. Напрыклад, мноства рэчаісных рашэнняў ураўнення х² = −1 пустое.

Калі кожны элемент мноства A з’яўляецца ў той жа час элементам мноства B, то мноства A называецца падмноствам мноства B, і пішуць $A\subset B$.

Калі адначасова выканана $A\subset B$ і $B\subset A$, то кажуць, што мноствы A і B роўныя, і пішуць A = B.

Аб’яднаннем $A\cup B$ мностваў A і B называецца мноства, якое складаецца з усіх элементаў, якія належаць хаця б аднаму з мностваў A і B.

Перасячэннем $A\cap B$ мностваў A і B называецца мноства, якое складаецца з усіх элементаў, якія належаць як A, так і B.

Аперацыі аб’яднання і перасячэння камутатыўныя, асацыятыўныя і ўзаемна дыстрыбутыўныя. Напрыклад,

$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$

У многіх раздзелах тэорыі мностваў разглядаюцца толькі такія мноства, якія ўтрымліваюцца ў некаторым фіксаваным мностве X.

Калі A — падмноства X і P — уласцівасць, якая характарызуе элементы з A, то пішуць

A = {$x\in X$ : P(x) — ісціна}.

Напрыклад, калі X — мноства ўсіх рэчаісных лікаў, а A — падмноства дадатных лікаў, то

$A=\{x\in X:x>0\}.$

Калі $A\subset X$, то мноства

$X\setminus A=\{x\in X:x\not \in A\}$

называецца дапаўненнем мноства A.

Аперацыі аб’яднання, перасячэння і дапаўненні звязаны т. зв. законамі дэ Моргана. Напрыклад,

$X\setminus (A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B).$

Раздзел тэорыі мностваў, які займаецца даследаваннем аперацый над мноствамі (не толькі канечных, але і бесканечных аперацый), называецца алгебрай мностваў. Алгебра мностваў у сваю чаргу з’яўляецца асобным выпадкам тэорыі булевых алгебр.

Магутнасць мноства

Магчымасць параўнальнай колькаснай ацэнкі мностваў абапіраецца на паняцце ўзаемна адназначнай адпаведнасці (ці біекцыі) паміж двума мноствамі. Хай кожнаму элементу мноства A адпавядае па нейкім правіле ці законе некаторы вызначаны элемент мноства B, калі пры гэтым кожны элемент мноства B аказваецца пастаўленым ў адпаведнасць аднаму і толькі аднаму элементу мноства B, то кажуць, што паміж мноствамі A і B ўстаноўлена ўзаемна адназначная адпаведнасць (або біектыўнае адлюстраванне, або біекцыя).

Паміж двума канечнымі мноствамі можна ўстанавіць біекцыю тады і толькі тады, калі абодва мноства складаюцца з аднае і тае ж колькасці элементаў.

Паводле Г. Кантара, колькасная эквівалентнасць, або роўнамагутнасць, вызначаецца як магчымасць устанавіць паміж імі ўзаемна адназначную адпаведнасць.

Калі мноства A роўнамагутнае мноству B, то мноствы A і B маюць адзін і той жа кардынальны лік. Іншымі словамі, мноствы A і B роўнамагутныя (эквівалентныя), калі паміж іх элементамі вызначана ўзаемна адназначная адпаведнасць.

Каштоўнасць паняцця магутнасці мноства вызначаецца існаваннем няроўнамагутных бясконцых мностваў. Бясконцыя мноствы, роўнамагутныя мноству ўсіх цэлых лікаў, называюцца злічальнымі (напрыклад, мноства рацыянальных лікаў). Аднак, мноства ўсіх рэчаісных лікаў мае магутнасць, большую за магутнасць злічальнага мноства, і яго магутнасць называецца магутнасцю кантынуума.

У кожным бясконцым мностве A маецца ўласнае падмноства, роўнамагутнае ўсяму A, тады як ні ў адным канечным мностве такой правільнай часткі знайсці нельга. Таму наяўнасць правільнай часткі, роўнамагутнай цэламу, можна прыняць за азначэнне бясконцага мноства.

Гісторыя

Тэорыя мностваў была створана працамі матэматыкаў 19 ст., якія ставілі сабе мэтай распрацоўку асноў матэматычнага аналізу. Ужо ў першых працах у гэтай галіне (работы Б. Бальцана (В. Bolzano), П. Дзюбуа-Рэймона (P. Du Bois-Reymond), P. Дэдэкінда (R. Dedekind)), у якіх разглядаліся лікавыя мноствы ці мноствы функцый, ставілася пытанне аб колькасным параўнанні бясконцых мностваў. Ці з’яўляецца бесканечнасць мноства чыста адмоўнай уласцівасцю, якая не дапускае раздзялення, ці ж існуюць розныя прыступкі матэматычнай бесканечнасці, бесканечныя мноствы рознай колькаснай сілы, рознай «магутнасці»? Адказ на гэтае пытанне даў Г. Кантар (G. Cantor, 1871-83), які прадставіў амаль сучасны выклад тэорыі кардынальных лікаў і парадкавых лікаў і тэорыі цалкам упарадкаваных мностваў. Абагульняючы параўнанне канечных мностваў па колькасці іх элементаў, Г. Кантар вызначыў колькасную эквівалентнасць, або роўнамагутнасць, як магчымасць устанавіць паміж мноствамі ўзаемна адназначную адпаведнасць.

Заслуга Г. Кантара заключаецца не толькі ў вырашэнні праблемы магутнасці мноства, але і ў тым рашучым кроку, які зрабіў ён, разгледзеўшы мноствы, якія складаюцца з элементаў адвольнай прыроды. Пра тое, што крок да агульнасці быў цяжкім, сведчаць, па-першае, розныя супярэчнасці (антыноміі), якія былі адкрыты рознымі навукоўцамі к пачатку 20 ст. і прывялі да стварэння аксіяматычнай тэорыі мностваў, і, па-другое, тое, што натуральным чынам узнікшыя задачы (напрыклад, кантынуум-гіпотэза) аказаліся невырашальнымі.

Да другой палавіны XIX стагоддзя паняцце «мноства» не разглядалася як матэматычнае («мноства кніг на паліцы», «мноства чалавечых дабрадзейнасцей» і г. д. — усё гэта чыста бытавыя звароты). Становішча змянілася, калі нямецкі матэматык Георг Кантар распрацаваў сваю праграму стандартызацыі матэматыкі, у рамках якой любы матэматычны аб’ект павінен быць тым ці іншым «мноствам». Напрыклад, натуральны лік з пазіцыі Кантара варта разглядаць як мноства, якое складаецца з адзінага элемента іншага мноства, так званага «натуральнага рада», які, у сваю чаргу, сам з’яўляецца мноствам, бо задавальняе так званым аксіёмам Пеана. Пры гэтым агульнаму паняццю «мноства», якое разглядалася ім як цэнтральнае для матэматыкі, Кантар даваў вельмі размытыя вызначэнні, як напрыклад, «мноства ёсць многае, якое мысліцца як адзінае», і г. д. Гэта цалкам адпавядала намеру самога Кантара, які падкрэслена называў сваю праграму не «тэорыяй мностваў», сам гэты тэрмін з’явіўся шмат пазней, а «вучэннем аб мноствах» (ням.: Mengenlehre).

Праграма Кантара выклікала рэзкія пратэсты з боку шматлікіх яго сучаснікаў-матэматыкаў. Асабліва вылучаўся сваім непрымірымым да яе стаўленнем Леапольд Кронекер, які лічыў, што матэматычнымі аб’ектамі могуць лічыцца толькі натуральныя лікі і тое, што да іх непасрэдна зводзіцца (вядома яго фраза, што «Бог стварыў натуральныя лікі, а ўсё астатняе — справа рук чалавечых»). Цалкам адкінулі тэорыю мностваў і такія аўтарытэтныя матэматыкі, як Герман Шварц і Анры Пуанкарэ. Аднак, некаторыя іншыя матэматыкі — у прыватнасці, Готлаб Фрэге, Рыхард Дэдэкінд і Давід Гільберт — падтрымалі Кантара ў яго намеры перавесці ўсю матэматыку на тэарэтыка-множную мову. У прыватнасці, тэорыя мностваў стала асновай: тэорыі меры, тапалогіі, функцыянальнага аналізу.

Аднак скора высветлілася, што накіраванасць Кантара на адсутнасць абмежаванняў пры аперацыях з мноствамі (выражаная ім самім у прынцыпе «сутнасць матэматыкі заключаецца ў яе свабодзе») была недасканалая з самага пачатку, а іменна, быў знойдзены рад тэарэтыка-множных антыномій: аказалася, што пры выкарыстанні тэарэтыка-множных уяўленняў некаторыя сцвярджэнні могуць быць даказаны разам са сваімі адмаўленнямі (г.зн. процілеглымі сцвярджэннямі), а тады, згодна з правіламі класічнай логікі выказванняў, можа быць «даказана» абсалютна любое сцвярджэнне. Антыноміі адзначылі сабой поўны правал праграмы Кантара.

Далейшы ўклад у тэорыю мностваў унёс Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff), распрацаваўшы тэорыю лінейна ўпарадкаваных мностваў і прымяніўшы тэорыю мностваў да тапалогіі, ён заклаў асновы тэорыі тапалагічных прастор (ці агульнай тапалогіі).

Далей, A—аперацыя, якая ўзнікла пры даследаванні барэлеўскіх мностваў, прывяла да стварэння дэскрыптыўнай тэорыі мностваў.

З рада задач камбінаторнай матэматыкі і тэорыі графаў узнікла камбінаторная тэорыя мностваў.

Нарэшце, адкрыцці, зробленыя К. Гёдэлем (К. Gödel) і П. Коэнам (P. Cohen) у аксіяматычнай тэорыі мностваў істотна паўплывалі на метады і развіццё тэорыі мностваў.

Значны ўклад у развіццё тэорыі мностваў зрабілі савецкія матэматыкі Д. Ф. Ягораў, М. М. Лузін, П. С. Аляксандраў, А. М. Калмагораў, П. С. Новікаў.

Гл. таксама

• Мноства
• Алгебра мностваў
• Тэорыя мностваў Цэрмела-Фрэнкеля

Літаратура

• Гусак А. Мностваў тэорыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — 544 с. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).
• Ефимов Б. А. Множеств теория // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 758-760.
• Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.
• Александров П. С. Введенне в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
• Больцано Б. Парадоксы бесконечного, пер. с нем., Одесса, 1911.
• Учение о множествах Георга Кантора, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике. Сб. № 6).
• Xаусдорф Ф. Теория множеств, пер. с нем., М.— Л., 1937.
• Куратовский К. Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.
• Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. М., 1969.
• Бурбаки Н. Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.