Перайсці да зместу

Размеркаванне імавернасцей

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі

Размеркава́нне імаве́рнасцей — закон, які ставіць у адпаведнасць кожнаму інтэрвалу значэнняў імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні патрапіць у гэты інтэрвал.

Размеркаванне імавернасцей — асобны выпадак больш агульнага паняцця імавернаснай меры[en]: функцыі, якая ставіць у адпаведнасць вымерным мноствам з вымернай прасторы імавернасці згодна з аксіёмамі Калмагорава.

Размеркаваннем выпадковай велічыні называецца імавернасная мера , зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў[en] з дапамогай роўнасці[1]:70

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Функцыя размеркавання

[правіць | правіць зыходнік]

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя , якая вызначаецца праз роўнасць

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання[1]:70-71.

Класіфікацыя размеркаванняў

[правіць | правіць зыходнік]

Размеркаванні імавернасцей падзяляюцца паводле характарыстык іх функцый размеркавання на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя[1]:77-78.

Дыскрэтнае размеркаванне

[правіць | правіць зыходнік]
Прыклад функцыі імавернасці і функцыі размеркавання для дыскрэтнага размеркавання

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца дыскрэтным, калі яна прымае канечную або злічоную колькасць значэнняў.

Для дыскрэтнага размеркавання існуе так званая функцыя імавернасці , якая ставіць у адпаведнасць кожнаму значэнню імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме гэтае значэнне:

Калі колькасць значэнняў невялікая, дыскрэтнае размеркаванне можна задаць з дапамогай табліцы

Значэнні

, дзе і .

Функцыя размеркавання мае выгляд .

Прыклады дыскрэтных размеркаванняў:

Абсалютна непарыўнае размеркаванне

[правіць | правіць зыходнік]
Прыклад шчыльнасці імавернасці і функцыі размеркавання для абсалютна непарыўнага размеркавання

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца абсалютна непарыўным, калі існуе неадмоўная функцыя , для якой і для кожнага барэлеўскага мноства праўдзіцца . Такая функцыя завецца шчыльнасцю імавернасці выпадковай велічыні .

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання мае выгляд . Пры гэтым амаль усюды[en] мае месца роўнасць , то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання.

Прыклады абсалютна непарыўных размеркаванняў:

Сінгулярнае размеркаванне

[правіць | правіць зыходнік]
Прыклад сінгулярнай функцыі размеркавання — фукнцыя Кантара або «кантарава лесвіца»

Сінгулярным называецца размеркаванне, функцыя размеркавання якога непарыўная, але яе пункты росту маюць лебегаву меру[en] нуль. Такім чынам, вытворная функцыі амаль усюды роўная нулю. Прыклад такой функцыі — функцыя Кантара[en].

Змешанае размеркаванне

[правіць | правіць зыходнік]

Змешанымі завуцца размеркаванні, якія не адносяцца ні да дыскрэтных, ні да непарыўных, ні да сінгулярных размеркаванняў. Іх функцыі размеркавання заўсёды можна прадставіць як выпуклую камбінацыю[en] дыскрэтнай, непарыўнай і сінгулярнай функцыі размеркавання[1]:80:

дзе , ,  — дыскрэтная,  — абсалютна непарыўная,  — сінгулярная функцыі размеркавання.

Зноскі

  1. а б в г Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.