Перайсці да зместу

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне
Фунцыя імавернасці
Функцыя імавернасці раўнамернага дыскрэтнага размеркавання для n = 5
, дзе
Функцыя размеркавання
Функцыя размеркавання раўнамернага дыскрэтнага размеркавання для n = 5
Абазначэнне або
Параметры цэлыя і
Носьбіт функцыі[en]
Функцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Матэматычнае спадзяванне
Медыяна
Мода няма
Дысперсія
Каэфіцыент асіметрыі
Каэфіцыент эксцэсу
Энтрапія[en]
Утваральная функцыя момантаў[en]
Характарыстычная функцыя[en]
Імавернасная ўтваральная функцыя

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — сіметрычнае[en] размеркаванне імавернасцей, якое ўзнікае, калі выпадковая велічыня мае аднолькавы шанец прыняць кожнае з канечнага набору[en] значэнняў. Кожнае з значэнняў мае імавернасць .

Просты прыклад раўнамернага дыскрэтнага размеркавання — падкіданне шасціграннага кубіка. Магчымыя значэнні — 1, 2, 3, 4, 5, 6, і пры кожным падкіданні імавернасць выпадзення пэўнага значэння роўная 1/6. Калі б падкідаліся два кубікі і іх значэнні складаліся, размеркаванне такой выпадковай велічыні ўжо не было б раўнамерным, бо розныя сумы маюць розныя імавернасці.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне прынята вызначаць для цэлых лікаў, але яго можна абагульніць і на адвольнае канечнае мноства. Напрыклад, выпадковая перастаноўка[en] атрымліваецца ў выніку выбару з роўнаімаверных перастановак пэўнай даўжыні.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне задаецца на ўсіх цэлых ліках у інтэрвале , дзе ,  — некаторыя цэлыя лікі і . Лікі і завуцца параметрамі раўнамернага дыскрэтнага размеркавання. Часам выкарыстоўваецца адзін параметр і значэнні велічыні бяруцца з інтэрвалу . З такой параметрызацыяй функцыя размеркавання мае выгляд .

Ацэнка максімуму

[правіць | правіць зыходнік]

Няхай маем выбарку[en] без вяртання з назіранняў з раўнамернага дыскрэтнага размеркавання на цэлых ліках . Патрабуецца ацаніць[en] невядомы максімум . Гэтая задача вядомая пад назвай «задача пра нямецкія танкі[en]», бо яна прымянялася для ацэнкі колькасці вырабленых нямецкіх танкаў падчас Другой сусветнай вайны.

Нязрушаная ацэнка з мінімальнай дысперсіяй[en] задаецца формулай

,

дзе  — максімум выбаркі, а  — памер выбаркі[1].

Дысперсія ацэнкі роўная[1]

,

дзе прыблізная роўнасць дасягаецца для невялікіх выбарак .

Беручы ў якасці ацэнкі выбаркавы максімум , атрымаем ацэнку максімальнай праўдападобнасці, але такая ацэнка будзе зрушанай[en].

Калі элементы выбаркі не пранумараваныя, але іх магчыма памеціць, памер генеральнай сукупнасці можна ацаніць метадам паўторнай лоўлі[en], якім карыстаюцца напрыклад для ацэнкі папуляцыі жывёл.

Дастатковая статыстыка

[правіць | правіць зыходнік]

Сямейства раўнамерных дыскрэтных размеркаванняў над інтэрваламі цэлых лікаў (з адной ці дзвюма невядомымі межамі) мае канечнавымерную дастатковую статыстыку[en]: тройку выбаркавага максімуму, мінімуму[en] і памеру выбаркі. Пры гэтым раўнамерныя дыскрэтныя размеркаванні не з’яўляюцца экспанентавым сямействам[en] размеркаванняў, бо іх носьбіт залежыць ад параметраў. Для сямействаў чый носьбіт[en] не залежыць ад параметраў, тэарэма Пітмана-Купмана-Дармуа сцвярджае, што толькі экспанентавыя сямействы маюць дастатковую статыстыку, памернасць якой абмежаваная пры павелічэнні памеру выбаркі. Такім чынам, раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — просты прыклад абмежавання тэарэмы.

Зноскі

  1. а б Johnson, Roger (1994), "Estimating the Size of a Population", Teaching Statistics, 16 (2 (Summer)): 50–52, CiteSeerX 10.1.1.385.5463, doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x