Бэта-размеркаванне
Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне
Beta(α , β ) Параметры
α > 0 параметр формы (рэчаісны лік )β > 0 параметр формы (рэчаісны лік ) Носьбіт функцыі [en]
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]\!}
x
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle x\in (0,1)\!}
Шчыльнасць імавернасці
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
B
(
α
,
β
)
=
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
Γ
(
α
+
β
)
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
гама-функцыя . Функцыя размеркавання
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
(рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя ) Матэматычнае спадзяванне
E
[
X
]
=
α
α
+
β
{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}
E
[
ln
X
]
=
ψ
(
α
)
−
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}
E
[
X
ln
X
]
=
α
α
+
β
[
ψ
(
α
+
1
)
−
ψ
(
α
+
β
+
1
)
]
{\displaystyle \operatorname {E} [X\,\ln X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,\left[\psi (\alpha +1)-\psi (\alpha +\beta +1)\right]\!}
дзе
ψ
{\displaystyle \psi }
дыгама-функцыя [en] Медыяна
I
1
2
[
−
1
]
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}
≈
α
−
1
3
α
+
β
−
2
3
{\displaystyle \approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}}
α
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha ,\beta >1}
Мода
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}
α , β > 1
усякае значэнне ў
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
α , β = 1
{0, 1} (бімадальнае) для α , β < 1
0 для α ≤ 1, β > 1
1 для α > 1, β ≤ 1 Дысперсія
var
[
X
]
=
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}
var
[
ln
X
]
=
ψ
1
(
α
)
−
ψ
1
(
α
+
β
)
{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}
трыгама-функцыя [en] Каэфіцыент асіметрыі
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
Каэфіцыент эксцэсу
6
[
(
α
−
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
−
α
β
(
α
+
β
+
2
)
]
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}
Энтрапія [en]
ln
B
(
α
,
β
)
−
(
α
−
1
)
ψ
(
α
)
−
(
β
−
1
)
ψ
(
β
)
+
(
α
+
β
−
2
)
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]{}+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}
Утваральная функцыя момантаў [en]
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
−
1
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
Характарыстычная функцыя [en]
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
канфлюэнтная гіпергеаметрычная функцыя [en] Інфармацыя Фішэра [en]
[
var
[
ln
X
]
cov
[
ln
X
,
ln
(
1
−
X
)
]
cov
[
ln
X
,
ln
(
1
−
X
)
]
var
[
ln
(
1
−
X
)
]
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}
Метад момантаў [en]
α
=
(
E
[
X
]
(
1
−
E
[
X
]
)
V
[
X
]
−
1
)
E
[
X
]
{\displaystyle \alpha =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)E[X]}
β
=
(
E
[
X
]
(
1
−
E
[
X
]
)
V
[
X
]
−
1
)
(
1
−
E
[
X
]
)
{\displaystyle \beta =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)(1-E[X])}
Бэта-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей на прамежку [0, 1] або (0, 1) з двума параметрамі : альфа (α ) і бэта (β ), якія задаюць форму [en]
Бэта-размеркаванне выкарыстоўваецца ў розных навуках для мадэлявання выпадковых велічынь , абмежаваных на пэўным інтэрвале [en] адсоткаў або прапорцый.
У баесаўскім высноўванні [en] спалучанага апрыёрнага [en] размеркавання Бэрнулі , біномнага , адмоўнага біномнага і геаметрычнага размеркаванняў.
Часам называецца бэта-размеркаваннем першага тыпу , каб адрозніць яго ад бэта-размеркавання другога тыпу . Многавымернае абагульненне бэта-размеркавання завецца размеркаваннем Дзірыхле .
Анімацыя шчыльнасці бэта-размеркавання для розных значэнняў параметраў. Шчыльнасць імавернасці бэта-размеркавання для 0 ≤ x ≤ 1 або 0 < x < 1 і параметраў формы α , β > 0 — ступеневая функцыя ад x і (1 − x ) :
f
(
x
;
α
,
β
)
=
c
o
n
s
t
a
n
t
⋅
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
=
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
∫
0
1
u
α
−
1
(
1
−
u
)
β
−
1
d
u
=
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}
дзе Γ(z ) — гама-функцыя . Бэта-функцыя
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
нарміровачны множнік [en] аксіёмы нармаванасці .
Калі выпадковая велічыня X мае бэта-размеркаванне з параметрамі α і β , пішуць[ 1] [ 2]
X
∼
Beta
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}
Часам ужываюць таксама абазначэнні
X
∼
B
e
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )}
[ 3]
X
∼
β
α
,
β
{\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}
[ 4]
Функцыя размеркавання мае выгляд
F
(
x
;
α
,
β
)
=
B
(
x
;
α
,
β
)
B
(
α
,
β
)
=
I
x
(
α
,
β
)
,
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta ),}
дзе
B
(
x
;
α
,
β
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}
няпоўная бэта-функцыя , а
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя .
![{\displaystyle x\in [0,1]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09601f74a28f3e2cad381be1a915ab0c02fe39c6)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3905662ceed484cba5580951e29eda96f4d2605e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de67df996fa33237ab7f415e7edc9fa8e71997a0)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X\,\ln X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,\left[\psi (\alpha +1)-\psi (\alpha +\beta +1)\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50106a787db7d72ce3066a5a3238813cffebcc2e)
![{\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed1a5ad785f6fe3ff39e46dd808964ee7ba8d73)
![{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90a6ad61b4b436749ca37a6c2a1aa077b032ce3)
![{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4941f45412823abd34d3befea7f8fbf544135e4)
![{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65a8d7c9e00ba6299b727eab679117776f41e)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]{}+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4b6cc1848fe96318adb734393b701cb816f88a)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881f91af0ab1d6bf3809a4ed6ca9e6384544292f)
}{V[X]}}-1\right)E[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b596a180ef813a0baa1d6f2063950e20da1f62)
}{V[X]}}-1\right)(1-E[X])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ace15e23f6ac9be43eea861f44c018fd3d00de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc18388353b219c482e8e35ca4aae808ab1be81)
