Матэматычнае спадзяванне

З пляцоўкі Вікіпедыя
(Пасля перасылкі з Матэматычнае чаканне)

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў прыбліжаецца да .

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то яго спадзяваны выйгрыш за гульню роўны (адсюль назва).

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега[правіць | правіць зыходнік]

Няхай зададзена прастора імавернасцей і азначаная на ёй выпадковая велічыня . То бок, па азначэнні,  — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад па прасторы , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім (чаканым) значэннем і абазначаецца або .

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Калі  — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стылцьеса:

, .

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)[правіць | правіць зыходнік]

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю , роўнае

.

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Калі  — дыскрэтная выпадковая велічыня, у якой размеркаванне

, ,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што

.

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі  — станоўчая цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасці
, , ,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз вытворчую функцыю паслядоўнасці

Уласцівасці матэматычнага спадзявання[правіць | правіць зыходнік]

  • Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
 — канстанта;
  • Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
,
дзе  — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а  — любыя канстанты;

У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

  • Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі амаль напэўна, і  — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні таксама канечнае, і больш за тое:
.
  • Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі амаль напэўна, то
.
  • Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэлюемых выпадковых велічынь роўнае здабытку іх матспадзяванняў
.

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем[правіць | правіць зыходнік]

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні , азначанай на прасторы імавернасцей з канечным матспадзяваннем , справядліва няроўнасць:

, дзе .

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай  — прастора імавернасцей,  — азначаная на ёй выпадковая велічыня,  — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што , тады

.

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]